Theorem xrdifh 29542

Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrdifh.1	|- A e. RR*

Assertion

Ref	Expression
xrdifh	|- ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) = ( -oo [,) A )

Proof of Theorem xrdifh

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biortn 421	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) ) )
2		pnfge 11964	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR* -> x <_ +oo )
3	2	notnotd 138	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> -. -. x <_ +oo )
4		biorf 420	. . . . . . . 8 |- ( -. -. x <_ +oo -> ( -. A <_ x <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( -. A <_ x <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) ) )
6		orcom 402	. . . . . . 7 |- ( ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x <_ +oo \/ -. A <_ x ) )
7	5, 6	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( -. A <_ x <-> ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
8		xrdifh.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. RR*
9		pnfxr 10092	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
10		elicc1 12219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( A [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) ) )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) )
12	11	notbii 310	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> -. ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) )
13		3ianor 1055	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x e. RR* /\ A <_ x /\ x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) )
14		3orass 1040	. . . . . . . 8 |- ( ( -. x e. RR* \/ -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
15	12, 13, 14	3bitri 286	. . . . . . 7 |- ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) )
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> ( -. x e. RR* \/ ( -. A <_ x \/ -. x <_ +oo ) ) ) )
17	1, 7, 16	3bitr4rd 301	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> -. A <_ x ) )
18		xrltnle 10105	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( x < A <-> -. A <_ x ) )
19	8, 18	mpan2 707	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x < A <-> -. A <_ x ) )
20	17, 19	bitr4d 271	. . . 4 |- ( x e. RR* -> ( -. x e. ( A [,] +oo ) <-> x < A ) )
21	20	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ -. x e. ( A [,] +oo ) ) <-> ( x e. RR* /\ x < A ) )
22		eldif 3584	. . 3 |- ( x e. ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) <-> ( x e. RR* /\ -. x e. ( A [,] +oo ) ) )
23		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) <-> ( x e. RR* /\ ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
24		mnfxr 10096	. . . . 5 |- -oo e. RR*
25		elico1 12218	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) ) )
26	24, 8, 25	mp2an 708	. . . 4 |- ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ -oo <_ x /\ x < A ) )
27		mnfle 11969	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
28	27	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( x < A <-> ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
29	28	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ x < A ) <-> ( x e. RR* /\ ( -oo <_ x /\ x < A ) ) )
30	23, 26, 29	3bitr4i 292	. . 3 |- ( x e. ( -oo [,) A ) <-> ( x e. RR* /\ x < A ) )
31	21, 22, 30	3bitr4i 292	. 2 |- ( x e. ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) <-> x e. ( -oo [,) A ) )
32	31	eqriv 2619	1 |- ( RR* \ ( A [,] +oo ) ) = ( -oo [,) A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-icc 12182

This theorem is referenced by: (None)