Theorem xrltnle 10105

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 10103	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
2	1	con2bid 344	. 2 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
3	2	ancoms 469	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xrletri  11984  qextltlem  12033  xralrple  12036  xltadd1  12086  xsubge0  12091  xposdif  12092  xltmul1  12122  ioo0  12200  ico0  12221  ioc0  12222  xrge0neqmnf  12276  snunioo  12298  snunioc  12300  difreicc  12304  hashbnd  13123  limsuplt  14210  pcadd  15593  pcadd2  15594  ramubcl  15722  ramlb  15723  leordtvallem1  21014  leordtvallem2  21015  leordtval2  21016  leordtval  21017  lecldbas  21023  blcld  22310  stdbdbl  22322  tmsxpsval2  22344  iocmnfcld  22572  xrsxmet  22612  metdsge  22652  bndth  22757  ovolgelb  23248  ovolunnul  23268  ioombl  23333  volsup2  23373  mbfmax  23416  ismbf3d  23421  itg2seq  23509  itg2monolem2  23518  itg2monolem3  23519  lhop2  23778  mdegleb  23824  deg1ge  23858  deg1add  23863  ig1pdvds  23936  plypf1  23968  radcnvlt1  24172  upgrfi  25986  xrdifh  29542  xrge00  29686  gsumesum  30121  itg2gt0cn  33465  asindmre  33495  dvasin  33496  radcnvrat  38513  supxrgelem  39553  infrpge  39567  xrlexaddrp  39568  xrltnled  39579  gtnelioc  39712  ltnelicc  39719  gtnelicc  39722  snunioo1  39738  eliccnelico  39756  xrgtnelicc  39765  lptioo2  39863  stoweidlem34  40251  fourierdlem20  40344  fouriersw  40448  nltle2tri  41323  iccelpart  41369