Theorem xrinfmexpnf 12136

Description: Adding plus infinity to a set does not affect the existence of its infimum. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmexpnf	|- ( E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmexpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3753	. . . . . 6 |- ( y e. ( A u. { +oo } ) <-> ( y e. A \/ y e. { +oo } ) )
2		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ ( y e. A -> -. y < x ) ) -> ( y e. A -> -. y < x ) )
3		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { +oo } <-> y = +oo )
4		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR* -> -. +oo < x )
5		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = +oo -> ( y < x <-> +oo < x ) )
6	5	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( y = +oo -> ( -. y < x <-> -. +oo < x ) )
7	4, 6	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR* -> ( y = +oo -> -. y < x ) )
8	3, 7	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> ( y e. { +oo } -> -. y < x ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ ( y e. A -> -. y < x ) ) -> ( y e. { +oo } -> -. y < x ) )
10	2, 9	jaod 395	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ ( y e. A -> -. y < x ) ) -> ( ( y e. A \/ y e. { +oo } ) -> -. y < x ) )
11	1, 10	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( y e. A -> -. y < x ) ) -> ( y e. ( A u. { +oo } ) -> -. y < x ) )
12	11	ex 450	. . . 4 |- ( x e. RR* -> ( ( y e. A -> -. y < x ) -> ( y e. ( A u. { +oo } ) -> -. y < x ) ) )
13	12	ralimdv2 2961	. . 3 |- ( x e. RR* -> ( A. y e. A -. y < x -> A. y e. ( A u. { +oo } ) -. y < x ) )
14		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> z e. ( A u. { +oo } ) )
15	14	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ z < y ) -> ( z e. ( A u. { +oo } ) /\ z < y ) )
16	15	reximi2 3010	. . . . . 6 |- ( E. z e. A z < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y )
17	16	imim2i 16	. . . . 5 |- ( ( x < y -> E. z e. A z < y ) -> ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) )
18	17	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) )
19	18	a1i 11	. . 3 |- ( x e. RR* -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) -> A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) ) )
20	13, 19	anim12d 586	. 2 |- ( x e. RR* -> ( ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) -> ( A. y e. ( A u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) ) ) )
21	20	reximia 3009	1 |- ( E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A u. { +oo } ) z < y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  xrinfmss  12140