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Theorem xrinfmss 12140
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
Distinct variable group:   x, y, z, A
Proof of Theorem xrinfmss
StepHypRef Expression
1 xrinfmsslem 12138 . 2 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A C_ RR \/ -oo e. A ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
2 ssdifss 3741 . . . 4 |- ( A C_ RR* -> ( A \ { +oo } ) C_ RR* )
3 ssxr 10107 . . . . . 6 |- ( ( A \ { +oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) )
4 3orass 1040 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) <-> ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ ( +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) ) )
5 pnfex 10093 . . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
65snid 4208 . . . . . . . . 9 |- +oo e. { +oo }
7 elndif 3734 . . . . . . . . 9 |- ( +oo e. { +oo } -> -. +oo e. ( A \ { +oo } ) )
8 biorf 420 . . . . . . . . 9 |- ( -. +oo e. ( A \ { +oo } ) -> ( -oo e. ( A \ { +oo } ) <-> ( +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . . . 8 |- ( -oo e. ( A \ { +oo } ) <-> ( +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) )
109orbi2i 541 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) <-> ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ ( +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) ) )
114, 10bitr4i 267 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ +oo e. ( A \ { +oo } ) \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) <-> ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) )
123, 11sylib 208 . . . . 5 |- ( ( A \ { +oo } ) C_ RR* -> ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) )
13 xrinfmsslem 12138 . . . . 5 |- ( ( ( A \ { +oo } ) C_ RR* /\ ( ( A \ { +oo } ) C_ RR \/ -oo e. ( A \ { +oo } ) ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A \ { +oo } ) z < y ) ) )
1412, 13mpdan 702 . . . 4 |- ( ( A \ { +oo } ) C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A \ { +oo } ) z < y ) ) )
152, 14syl 17 . . 3 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A \ { +oo } ) z < y ) ) )
16 xrinfmexpnf 12136 . . . 4 |- ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A \ { +oo } ) z < y ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) ) )
175snss 4316 . . . . . . 7 |- ( +oo e. A <-> { +oo } C_ A )
18 undif 4049 . . . . . . . 8 |- ( { +oo } C_ A <-> ( { +oo } u. ( A \ { +oo } ) ) = A )
19 uncom 3757 . . . . . . . . 9 |- ( { +oo } u. ( A \ { +oo } ) ) = ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } )
2019eqeq1i 2627 . . . . . . . 8 |- ( ( { +oo } u. ( A \ { +oo } ) ) = A <-> ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A )
2118, 20bitri 264 . . . . . . 7 |- ( { +oo } C_ A <-> ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A )
2217, 21bitri 264 . . . . . 6 |- ( +oo e. A <-> ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A )
23 raleq 3138 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A -> ( A. y e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) -. y < x <-> A. y e. A -. y < x ) )
24 rexeq 3139 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A -> ( E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y <-> E. z e. A z < y ) )
2524imbi2d 330 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A -> ( ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
2625ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A -> ( A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) <-> A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
2723, 26anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) = A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
2822, 27sylbi 207 . . . . 5 |- ( +oo e. A -> ( ( A. y e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) ) <-> ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
2928rexbidv 3052 . . . 4 |- ( +oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( ( A \ { +oo } ) u. { +oo } ) z < y ) ) <-> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
3016, 29syl5ib 234 . . 3 |- ( +oo e. A -> ( E. x e. RR* ( A. y e. ( A \ { +oo } ) -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. ( A \ { +oo } ) z < y ) ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) ) )
3115, 30mpan9 486 . 2 |- ( ( A C_ RR* /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
32 ssxr 10107 . . 3 |- ( A C_ RR* -> ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) )
33 df-3or 1038 . . . 4 |- ( ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) )
34 or32 549 . . . 4 |- ( ( ( A C_ RR \/ +oo e. A ) \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ -oo e. A ) \/ +oo e. A ) )
3533, 34bitri 264 . . 3 |- ( ( A C_ RR \/ +oo e. A \/ -oo e. A ) <-> ( ( A C_ RR \/ -oo e. A ) \/ +oo e. A ) )
3632, 35sylib 208 . 2 |- ( A C_ RR* -> ( ( A C_ RR \/ -oo e. A ) \/ +oo e. A ) )
371, 31, 36mpjaodan 827 1 |- ( A C_ RR* -> E. x e. RR* ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR* ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269
This theorem is referenced by:  xrinfmss2  12141  infxrcl  12163  infxrlb  12164  infxrgelb  12165  xrge0infss  29525  infxrglb  39556  infxrunb2  39584
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