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Theorem xrsupsslem 12137

Description: Lemma for xrsupss 12139. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrsupsslem	$/\$ $\/$ $/\$

Distinct variable group:

**Proof of Theorem xrsupsslem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3138	. . . . . 6
2		rexeq 3139	. . . . . . . 8
3	2	imbi2d 330	. . . . . . 7
4	3	ralbidv 2986	. . . . . 6
5	1, 4	anbi12d 747	. . . . 5 $/\$ $/\$
6	5	rexbidv 3052	. . . 4 $/\$ $/\$
7		sup3 10980	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
8		rexr 10085	. . . . . . . . . 10
9	8	anim1i 592	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	reximi2 3010	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
12		elxr 11950	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
14		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17	16	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
19	15, 18	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
20	19	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
21	20	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	21	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
23		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
24		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	23, 24	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
26	25	ancld 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	26	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
28		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
29		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
30	27, 28, 29	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
32	31	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
34		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
36	35	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	34, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
39	33, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
42	13, 22, 41	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
43	12, 42	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	44	ralimdv2 2961	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46	45	anim2d 589	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	reximdva 3017	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	3adant3 1081	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	11, 48	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	3expa 1265	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
51		ralnex 2992	. . . . . . . . 9
52		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . 12
53		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
54		letric 10137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$
55	54	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56	53, 55	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
57	56	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
58	57	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
59	52, 58	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 $/\$
60	59	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10
61	60	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$
62	51, 61	sylan2br 493	. . . . . . . 8 $/\$
63		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
64	63	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9
65	64	ralbii 2980	. . . . . . . 8
66	62, 65	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$
67		pnfxr 10092	. . . . . . . 8
68		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12
69		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . 13
70		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . 13
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
72	68, 71	syl6 35	. . . . . . . . . . 11
73	72	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
75		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
77	76	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
79	78	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	79	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	75, 80	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
83		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
85	75	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
86		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
88	85, 87	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
89	84, 88	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
90	89	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
91	82, 90	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92	91	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
93	92	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94	93	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
95	81, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
96	95	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16
97	96	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	97	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . 14
99		xrltnr 11953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100	67, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	100, 101	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	102	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	103	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14
105		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107	106	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108	107	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
109	105, 108	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	82, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
111	110	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
112	111	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113	109, 112	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
114	113, 36	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
115	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116	115	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14
117	98, 104, 116	3jaoi 1391	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
118	12, 117	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12
119	118	com13 88	. . . . . . . . . . 11
120	119	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$
121	120	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 $/\$
122	74, 121	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
123		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
124	123	notbid 308	. . . . . . . . . . 11
125	124	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
126		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
127	126	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11
128	127	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
129	125, 128	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130	129	rspcev 3309	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
131	67, 122, 130	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
132	66, 131	syldan 487	. . . . . 6 $/\$ $/\$
133	132	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
134	50, 133	pm2.61dan 832	. . . 4 $/\$ $/\$
135		mnfxr 10096	. . . . . 6
136		ral0 4076	. . . . . . 7
137		nltmnf 11963	. . . . . . . . 9
138	137	pm2.21d 118	. . . . . . . 8
139	138	rgen 2922	. . . . . . 7
140	136, 139	pm3.2i 471	. . . . . 6 $/\$
141		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
142	141	notbid 308	. . . . . . . . 9
143	142	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
144		breq2 4657	. . . . . . . . . 10
145	144	imbi1d 331	. . . . . . . . 9
146	145	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
147	143, 146	anbi12d 747	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
148	147	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
149	135, 140, 148	mp2an 708	. . . . 5 $/\$
150	149	a1i 11	. . . 4 $/\$
151	6, 134, 150	pm2.61ne 2879	. . 3 $/\$
152	151	adantl 482	. 2 $/\$ $/\$
153		ssel 3597	. . . . . 6
154	153, 70	syl6 35	. . . . 5
155	154	ralrimiv 2965	. . . 4
156		breq2 4657	. . . . . . 7
157	156	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$
158	157	ex 450	. . . . 5
159	158	ralrimivw 2967	. . . 4
160	155, 159	anim12i 590	. . 3 $/\$ $/\$
161	67, 160, 130	sylancr 695	. 2 $/\$ $/\$
162	152, 161	jaodan 826	1 $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269

This theorem is referenced by: xrsupss 12139

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