Theorem dprdgrp 18404

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 18396	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5159	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3		dmexg 7097	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
6		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
9	6, 7, 8	dmdprd 18397	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	4, 5, 9	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
11	10	ibi 256	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
12	11	simp1d 1073	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  0_gc0g 16100  mrClscmrc 16243  Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-ixp 7909  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdssv  18415  dprdfid  18416  dprdfinv  18418  dprdfadd  18419  dprdfsub  18420  dprdfeq0  18421  dprdf11  18422  dprdsubg  18423  dprdlub  18425  dprdspan  18426  dprdres  18427  dprdss  18428  dprdf1o  18431  dmdprdsplitlem  18436  dprdcntz2  18437  dprddisj2  18438  dprd2dlem1  18440  dprd2da  18441  dmdprdsplit2lem  18444  dmdprdsplit2  18445  dpjfval  18454  dpjidcl  18457