Theorem eceq1d 7783

Description: Equality theorem for equivalence class (deduction form). (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
eceq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eceq1d	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Proof of Theorem eceq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eceq1 7782	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝐶 = [𝐵]𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483  [cec 7740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ec 7744

This theorem is referenced by:  brecop  7840  eroveu  7842  erov  7844  ecovcom  7854  ecovass  7855  ecovdi  7856  addsrmo  9894  mulsrmo  9895  addsrpr  9896  mulsrpr  9897  supsrlem  9932  supsr  9933  qus0  17652  qusinv  17653  qussub  17654  sylow2blem2  18036  frgpadd  18176  vrgpval  18180  vrgpinv  18182  frgpup3lem  18190  qusabl  18268  quscrng  19240  qustgplem  21924  pi1addval  22848  pi1xfrf  22853  pi1xfrval  22854  pi1xfrcnvlem  22856  pi1xfrcnv  22857  pi1cof  22859  pi1coval  22860  pi1coghm  22861  vitalilem3  23379  ismntoplly  30069  linedegen  32250  fvline  32251