Theorem elioo1 12215

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioo1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12179	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx1 12184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-xr 10078  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  elioo5  12231  difreicc  12304  tgqioo  22603  xrge0tsms  22637  ovolfioo  23236  elicoelioo  29540  xrge0tsmsd  29785  tpr2rico  29958  ivthALT  32330  iooelexlt  33210  relowlssretop  33211