Theorem elioo2 12216

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3363	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1042	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 267	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  eliooord  12233  elioopnf  12267  elioomnf  12268  difreicc  12304  xov1plusxeqvd  12318  tanhbnd  14891  bl2ioo  22595  xrtgioo  22609  zcld  22616  iccntr  22624  icccmplem2  22626  reconnlem1  22629  reconnlem2  22630  icoopnst  22738  iocopnst  22739  ivthlem3  23222  ovolicc2lem1  23285  ovolicc2lem5  23289  ioombl1lem4  23329  mbfmax  23416  itg2monolem1  23517  itg2monolem3  23519  dvferm1lem  23747  dvferm2lem  23749  dvlip2  23758  dvivthlem1  23771  lhop1lem  23776  lhop  23779  dvcnvrelem1  23780  dvcnvre  23782  itgsubst  23812  sincosq1sgn  24250  sincosq2sgn  24251  sincosq3sgn  24252  sincosq4sgn  24253  coseq00topi  24254  tanabsge  24258  sinq12gt0  24259  sinq12ge0  24260  cosq14gt0  24262  sincos6thpi  24267  sineq0  24273  cosordlem  24277  tanord1  24283  tanord  24284  argregt0  24356  argimgt0  24358  argimlt0  24359  dvloglem  24394  logf1o2  24396  efopnlem2  24403  asinsinlem  24618  acoscos  24620  atanlogsublem  24642  atantan  24650  atanbndlem  24652  atanbnd  24653  atan1  24655  scvxcvx  24712  basellem1  24807  pntibndlem1  25278  pntibnd  25282  pntlemc  25284  padicabvf  25320  padicabvcxp  25321  dfrp2  29532  cnre2csqlem  29956  ivthALT  32330  iooelexlt  33210  itg2gt0cn  33465  iblabsnclem  33473  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirc  33505  cvgdvgrat  38512  radcnvrat  38513  sineq0ALT  39173  ioogtlb  39717  eliood  39720  eliooshift  39729  iooltub  39735  limciccioolb  39853  limcicciooub  39869  cncfioobdlem  40109  ditgeqiooicc  40176  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem4  40323  fourierdlem10  40334  fourierdlem32  40356  fourierdlem62  40385  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem93  40416  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434