Theorem xrge0tsmsd 29785

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmsd.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsd	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd

Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmsd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
2		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrge0tsmsd.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		xrsbas 19762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5	3, 4	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		xrge0cmn 19788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
9	3, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		xrge0tsmsd.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
14	13	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
15		fssres 6070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
16	12, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
20	16, 18, 19	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 7, 10, 11, 16, 20	gsumcl 18316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
22	2, 21	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
24	22, 23	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
25		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
27		supxrcl 12145	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
29	1, 28	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
30		0ss 3972	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
31		0fin 8188	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
32		elfpw 8268	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
33	30, 31, 32	mpbir2an 955	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
34		0cn 10032	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
35		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
36		res0 5400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
37	35, 36	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
40	39	xrge0subm 19787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
41		xrex 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ* ∈ V
42		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
46	44, 45	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
47		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
49	46, 47, 48	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
50	49	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
51		ressabs 15939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
52	43, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
53	3, 52	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
54	39	xrs10 19785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
55	53, 54	subm0 17356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
56	40, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	56	gsum0 17278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
58	38, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
59	23, 58	elrnmpt1s 5373	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
60	33, 34, 59	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
61		supxrub 12154	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
62	26, 60, 61	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
63	62, 1	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
64		elxrge0 12281	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
65	29, 63, 64	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
66		letop 21010	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
67		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
68		elrest 16088	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
69	66, 67, 68	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
70		elinel1 3799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆 ∈ 𝑣)
71		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
72		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
73		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
74	66, 72, 73	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
75	71, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
77	76	xrtgioo 22609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
78	75, 77	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
79		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ 𝑣)
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
81	79, 80	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
82		tg2 20769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
83	78, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
84		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
85		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
86		ovelrn 6810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
87	84, 85, 86	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
88		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
90		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
91	89, 90	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
92	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
93		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
94		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
96		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝜑)
97	96, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
98		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
99	98	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
100	93, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
101	97, 100	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
102		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
103	12, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
104	103	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → Fun 𝐹)
106		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ V
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 0 ∈ V)
108	105, 95, 107	resfifsupp 8303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp 0)
109	6, 56, 92, 95, 101, 108	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
110	2, 109	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
111		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
113		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
114		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
115	114, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
116	97, 115	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
117		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
118	95, 114, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
119		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (0g‘𝐺) ∈ V)
120	116, 118, 119	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
121	6, 7, 92, 113, 116, 120	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
122	2, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
123		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
124		xrge0tsmsd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
125	96, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
126	3, 125, 97, 93, 114	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
127	112, 122, 110, 123, 126	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
128	96, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
129		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
131	96, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
132		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
133		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑦))
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
135	23, 134	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
136	93, 132, 135	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
137		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
138	131, 136, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
139	96, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
140	138, 139	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ 𝑆)
141		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
142		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
144	143	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
146	110, 128, 130, 140, 145	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)
147		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
148	112, 130, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
149	110, 127, 146, 148	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
150	91, 149	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
151	150, 109	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
152	151	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
153	152	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
154	153	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
155	143	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
156	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
157	155, 156	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
158	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
159		supxrlub 12155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
160	158, 111, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
161	157, 160	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
162		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
163	162	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
164		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑧))
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
166	165	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
167		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑟 < 𝑤 ↔ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
168	166, 167	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
169	163, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
170	161, 169	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
171	154, 170	reximddv 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
172	171	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
173		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
174		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
175	173, 174	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
176	175	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
177	172, 176	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178	177	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
179	87, 178	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
180	179	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
181	83, 180	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
182		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
183		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
184		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 ∈ 𝑣)
185	183, 184	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
186		pnfnei 21024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
187	182, 185, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
188		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
189	188	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
190	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
191		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
192		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝜑)
193	192, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
194	99	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
195	193, 194	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
196	94	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
197		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
198	195, 196, 197	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐺))
199	6, 7, 190, 191, 195, 198	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
200	2, 199	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
201		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
202	201	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
203	202	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
204		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
205		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
206	205, 194	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
207	193, 206	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
208	196, 205, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
209	207, 208, 197	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
210	6, 7, 190, 204, 207, 209	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
211	2, 210	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
212		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
213	192, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
214	3, 213, 193, 191, 205	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
215	203, 211, 200, 212, 214	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
216		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
217	200, 216	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
218		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
219		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
220	203, 218, 219	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
221	200, 215, 217, 220	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
222	189, 221	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
223	222, 199	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
224	223	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
225	224	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
226		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
227	226	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
228		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
229	227, 228	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
230	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
231	229, 230	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
232	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
233	232, 202, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
234	231, 233	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
235	234, 169	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
236	225, 235	reximddv 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
237	187, 236	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
238		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
239	29, 63, 238	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ -∞)
240	29, 239	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
242		xrnemnf 11951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
243	241, 242	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
244	181, 237, 243	mpjaodan 827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
245	244	expr 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
246	70, 245	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
247		eleq2 2690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
248		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
249	248	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
250	249	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
251	247, 250	imbi12d 334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
252	246, 251	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
253	252	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
254	69, 253	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
255	254	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
256		xrstset 19765	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
257	3, 256	resstset 16046	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
258	67, 257	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
259	6, 258	topnval 16095	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
260		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
261	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
262		xrstps 21013	. . . . . . 7 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ TopSp
263		resstps 20991	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
264	262, 67, 263	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
265	3, 264	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ TopSp
266	265	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
267	6, 259, 260, 261, 266, 124, 12	eltsms 21936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
268	65, 255, 267	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
269		letsr 17227	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
270		ordthaus 21188	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
271	269, 270	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
272		resthaus 21172	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
273	271, 67, 272	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
274	6, 261, 266, 124, 12, 259, 273	haustsms2 21940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
275	268, 274	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  (,)cioo 12175  (,]cioc 12176  [,]cicc 12178  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  TopSetcts 15947   ↾_t crest 16081  topGenctg 16098  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  ordTopcordt 16159  ℝ^*_𝑠cxrs 16160   TosetRel ctsr 17199  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193  Topctop 20698  TopSpctps 20736  Hauscha 21112   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  esumval  30108  esumel  30109  esumsnf  30126