Theorem genpnnp 9827

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
genp.2	|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
genpnnp.3	|- ( z e. Q. -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
genpnnp.4	|- ( x G y ) = ( y G x )

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> -. ( A F B ) = Q. )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z, w, v   x, G   y, w, v, G, z   w, A, v   w, B, v   w, F, v

Allowed substitution hints:   F( x, y, z)

Proof of Theorem genpnnp

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 9812	. . . . 5 |- ( A e. P. -> A C. Q. )
2		pssnel 4039	. . . . 5 |- ( A C. Q. -> E. w ( w e. Q. /\ -. w e. A ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( A e. P. -> E. w ( w e. Q. /\ -. w e. A ) )
4		prpssnq 9812	. . . . 5 |- ( B e. P. -> B C. Q. )
5		pssnel 4039	. . . . 5 |- ( B C. Q. -> E. v ( v e. Q. /\ -. v e. B ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( B e. P. -> E. v ( v e. Q. /\ -. v e. B ) )
7	3, 6	anim12i 590	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. w ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ E. v ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) )
8		eeanv 2182	. . 3 |- ( E. w E. v ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) <-> ( E. w ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ E. v ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) )
9	7, 8	sylibr 224	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> E. w E. v ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) )
10		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ w e. Q. ) -> ( -. w e. A -> f <Q w ) )
11		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. P. /\ g e. B ) /\ v e. Q. ) -> ( -. v e. B -> g <Q v ) )
12	10, 11	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ w e. Q. ) /\ ( ( B e. P. /\ g e. B ) /\ v e. Q. ) ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> ( f <Q w /\ g <Q v ) ) )
13		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> f e. Q. )
14	13	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ w e. Q. ) -> ( f e. Q. /\ w e. Q. ) )
15		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. P. /\ g e. B ) -> g e. Q. )
16	15	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. P. /\ g e. B ) /\ v e. Q. ) -> ( g e. Q. /\ v e. Q. ) )
17		ltsonq 9791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- <Q Or Q.
18		so2nr 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( f e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> -. ( f <Q w /\ w <Q f ) )
19	17, 18	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) -> -. ( f <Q w /\ w <Q f ) )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) /\ ( w G v ) = ( f G g ) ) -> -. ( f <Q w /\ w <Q f ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( g e. Q. /\ v e. Q. ) -> v e. Q. )
22		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) -> f e. Q. )
23	21, 22	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( g e. Q. /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( v e. Q. /\ f e. Q. ) )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) -> ( v e. Q. /\ f e. Q. ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- w e. _V
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- v e. _V
27		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. Q. -> ( x <Q y <-> ( z G x ) <Q ( z G y ) ) )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- f e. _V
29		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x G y ) = ( y G x )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- g e. _V
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	caovord3 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( v e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( w G v ) = ( f G g ) ) -> ( w <Q f <-> g <Q v ) )
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( v e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( w G v ) = ( f G g ) ) -> ( ( f <Q w /\ w <Q f ) <-> ( f <Q w /\ g <Q v ) ) )
33	24, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) /\ ( w G v ) = ( f G g ) ) -> ( ( f <Q w /\ w <Q f ) <-> ( f <Q w /\ g <Q v ) ) )
34	20, 33	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) /\ ( w G v ) = ( f G g ) ) -> -. ( f <Q w /\ g <Q v ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) -> ( ( w G v ) = ( f G g ) -> -. ( f <Q w /\ g <Q v ) ) )
36	35	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. Q. /\ w e. Q. ) /\ ( g e. Q. /\ v e. Q. ) ) -> ( ( f <Q w /\ g <Q v ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) )
37	14, 16, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ w e. Q. ) /\ ( ( B e. P. /\ g e. B ) /\ v e. Q. ) ) -> ( ( f <Q w /\ g <Q v ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) )
38	12, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ w e. Q. ) /\ ( ( B e. P. /\ g e. B ) /\ v e. Q. ) ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) )
39	38	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ ( B e. P. /\ g e. B ) ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) )
40	39	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ ( B e. P. /\ g e. B ) ) -> ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) ) )
41	40	an4s 869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( f e. A /\ g e. B ) ) -> ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( f e. A /\ g e. B ) -> ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) ) ) )
43	42	com24 95	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) -> ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( f e. A /\ g e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) ) ) )
44	43	imp32 449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) ) -> ( ( f e. A /\ g e. B ) -> -. ( w G v ) = ( f G g ) ) )
45	44	ralrimivv 2970	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) ) -> A. f e. A A. g e. B -. ( w G v ) = ( f G g ) )
46		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. B -. ( w G v ) = ( f G g ) <-> -. E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) )
47	46	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f e. A A. g e. B -. ( w G v ) = ( f G g ) <-> A. f e. A -. E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) )
48		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f e. A -. E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) <-> -. E. f e. A E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) )
49	47, 48	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. f e. A A. g e. B -. ( w G v ) = ( f G g ) <-> -. E. f e. A E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) )
50	45, 49	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) ) -> -. E. f e. A E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) )
51		genp.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
52		genp.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
53	51, 52	genpelv 9822	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( w G v ) e. ( A F B ) <-> E. f e. A E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) ) -> ( ( w G v ) e. ( A F B ) <-> E. f e. A E. g e. B ( w G v ) = ( f G g ) ) )
55	50, 54	mtbird 315	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) ) -> -. ( w G v ) e. ( A F B ) )
56	55	expcom 451	. . . . . 6 |- ( ( ( -. w e. A /\ -. v e. B ) /\ ( w e. Q. /\ v e. Q. ) ) -> ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> -. ( w G v ) e. ( A F B ) ) )
57	56	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) /\ ( -. w e. A /\ -. v e. B ) ) -> ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> -. ( w G v ) e. ( A F B ) ) )
58	57	an4s 869	. . . 4 |- ( ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) -> ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> -. ( w G v ) e. ( A F B ) ) )
59	52	caovcl 6828	. . . . . 6 |- ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( w G v ) e. Q. )
60		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( ( A F B ) = Q. -> ( ( w G v ) e. ( A F B ) <-> ( w G v ) e. Q. ) )
61	60	biimprcd 240	. . . . . . 7 |- ( ( w G v ) e. Q. -> ( ( A F B ) = Q. -> ( w G v ) e. ( A F B ) ) )
62	61	con3d 148	. . . . . 6 |- ( ( w G v ) e. Q. -> ( -. ( w G v ) e. ( A F B ) -> -. ( A F B ) = Q. ) )
63	59, 62	syl 17	. . . . 5 |- ( ( w e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( -. ( w G v ) e. ( A F B ) -> -. ( A F B ) = Q. ) )
64	63	ad2ant2r 783	. . . 4 |- ( ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) -> ( -. ( w G v ) e. ( A F B ) -> -. ( A F B ) = Q. ) )
65	58, 64	syldc 48	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) -> -. ( A F B ) = Q. ) )
66	65	exlimdvv 1862	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. w E. v ( ( w e. Q. /\ -. w e. A ) /\ ( v e. Q. /\ -. v e. B ) ) -> -. ( A F B ) = Q. ) )
67	9, 66	mpd 15	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> -. ( A F B ) = Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Q.cnq 9674   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpcl  9830