Theorem grpbn0 17451

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 17450	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4		ne0i 3921	. 2 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grpn0  17454  dfgrp3  17514  issubg2  17609  grpissubg  17614  ghmrn  17673  gexcl3  18002  gexcl2  18004  sylow1lem1  18013  sylow1lem3  18015  sylow1lem5  18017  pgpfi  18020  pgpfi2  18021  sylow2blem3  18037  slwhash  18039  fislw  18040  gexex  18256  lt6abl  18296  ablfac1lem  18467  ablfac1b  18469  ablfac1c  18470  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3a  18475  ablfaclem3  18486  dvdsr02  18656  lmodbn0  18873  lmodsn0  18876  rmodislmodlem  18930  rmodislmod  18931  islss3  18959  0ringnnzr  19269  isclmp  22897  dfacbasgrp  37678