Theorem dfacbasgrp 37678

Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacbasgrp	⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 8959	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
2		basfn 15877	. . . . . . . . . 10 ⊢ Base Fn V
3		ssv 3625	. . . . . . . . . 10 ⊢ Grp ⊆ V
4		fvelimab 6253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
7	6	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8		neeq1 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
9	7, 8	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
10	9	rexlimiv 3027	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
11	5, 10	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	12, 13	jctil 560	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15		ablgrp 18198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
16	15	ssriv 3607	. . . . . . . 8 ⊢ Abel ⊆ Grp
17		imass2 5501	. . . . . . . 8 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
21	19, 20	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22		simprr 796	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23		isnumbasgrplem3 37675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
25	18, 24	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
26	14, 25	impbida 877	. . . . 5 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27		eldifsn 4317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl6bbr 278	. . . 4 ⊢ (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
29	28	eqrdv 2620	. . 3 ⊢ (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ∈ V
31	13, 30	unex 6956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33		harn0 37672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (har‘𝑥) ≠ ∅
35		ssn0 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
36	32, 34, 35	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
38	31, 36, 37	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
41	39, 40	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42		isnumbasgrp 37677	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
43	41, 42	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
44	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
45	43, 44	2thd 255	. . . 4 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
46	45	eqrdv 2620	. . 3 ⊢ ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
47	29, 46	impbii 199	. 2 ⊢ (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
48	1, 47	bitri 264	1 ⊢ (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  dom cdm 5114   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  harchar 8461  cardccrd 8761  CHOICEwac 8938  Basecbs 15857  Grpcgrp 17422  Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-har 8463  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by: (None)