Theorem iccssre 12255

Description: A closed real interval is a set of reals. (Contributed by FL, 6-Jun-2007.) (Proof shortened by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iccssre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem iccssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2 12238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
2	1	biimp3a 1432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
3	2	simp1d 1073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 3609	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  iccsupr  12266  iccsplit  12305  iccshftri  12307  iccshftli  12309  iccdili  12311  icccntri  12313  unitssre  12319  supicc  12320  supiccub  12321  supicclub  12322  icccld  22570  iccntr  22624  icccmplem2  22626  icccmplem3  22627  icccmp  22628  retopconn  22632  iccconn  22633  cnmpt2pc  22727  iihalf1cn  22731  iihalf2cn  22733  icoopnst  22738  iocopnst  22739  icchmeo  22740  xrhmeo  22745  icccvx  22749  cnheiborlem  22753  htpycc  22779  pcocn  22817  pcohtpylem  22819  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevlem  22826  ivthlem2  23221  ivthlem3  23222  ivthicc  23227  evthicc  23228  ovolficcss  23238  ovolicc1  23284  ovolicc2  23290  ovolicc  23291  iccmbl  23334  ovolioo  23336  dyadss  23362  volcn  23374  volivth  23375  vitalilem2  23378  vitalilem4  23380  mbfimaicc  23400  mbfi1fseqlem4  23485  itgioo  23582  rollelem  23752  rolle  23753  cmvth  23754  mvth  23755  dvlip  23756  c1liplem1  23759  c1lip1  23760  c1lip3  23762  dvgt0lem1  23765  dvgt0lem2  23766  dvgt0  23767  dvlt0  23768  dvge0  23769  dvle  23770  dvivthlem1  23771  dvivth  23773  dvne0  23774  lhop1lem  23776  dvcvx  23783  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  ftc1lem1  23798  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  ftc1lem5  23803  ftc1lem6  23804  ftc1  23805  ftc1cn  23806  ftc2  23807  ftc2ditglem  23808  ftc2ditg  23809  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  aalioulem3  24089  reeff1olem  24200  efcvx  24203  pilem3  24207  pige3  24269  sinord  24280  recosf1o  24281  resinf1o  24282  efif1olem4  24291  asinrecl  24629  acosrecl  24630  emre  24732  pntlem3  25298  ttgcontlem1  25765  signsply0  30628  iblidicc  30670  ftc2re  30676  iccsconn  31230  iccllysconn  31232  cvmliftlem10  31276  ivthALT  32330  sin2h  33399  cos2h  33400  mblfinlem2  33447  ftc1cnnclem  33483  ftc1cnnc  33484  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  ftc2nc  33494  areacirclem2  33501  areacirclem3  33502  areacirclem4  33503  areacirc  33505  iccbnd  33639  icccmpALT  33640  itgpowd  37800  arearect  37801  areaquad  37802  lhe4.4ex1a  38528  lefldiveq  39505  iccssred  39727  itgsin0pilem1  40165  ibliccsinexp  40166  iblioosinexp  40168  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  iblspltprt  40189  fourierdlem5  40329  fourierdlem9  40333  fourierdlem18  40342  fourierdlem24  40348  fourierdlem62  40385  fourierdlem66  40389  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem83  40406  fourierdlem87  40410  fourierdlem93  40416  fourierdlem95  40418  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem112  40435  fourierdlem114  40437  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446