Theorem isf32lem7 9181

Description: Lemma for isfin3-2 9189. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
isf32lem.c	⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
isf32lem.e	⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f	⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
isf32lem7	⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐵   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑦,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
2	1	fveq1i 6192	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐴) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3		isf32lem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)}
4		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹‘𝑦)} ⊆ ω
5	3, 4	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ω
6		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7		isf32lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑥))
8		isf32lem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ∩ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
9	6, 7, 8, 3	isf32lem5 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10		isf32lem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (℩𝑣 ∈ 𝑆 (𝑣 ∩ 𝑆) ≈ 𝑢))
11	10	fin23lem22 9149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
12	5, 9, 11	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1-onto→𝑆)
13		f1of 6137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω⟶𝑆)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω⟶𝑆)
15		fvco3 6275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
16	14, 15	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
17	16	ad2ant2r 783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)))
18	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω⟶𝑆)
19		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
20		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆)
22		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐴)))
23		suceq 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐴))
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴)))
25	22, 24	difeq12d 3729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐴) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
26		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
27		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V
28		difexg 4808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∈ V
30	25, 26, 29	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
31	21, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
32	17, 31	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
33	2, 32	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))))
34	1	fveq1i 6192	. . . 4 ⊢ (𝐾‘𝐵) = (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵)
35		fvco3 6275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
36	14, 35	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
37	36	ad2ant2rl 785	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)))
38		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
39		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω⟶𝑆 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
40	18, 38, 39	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆)
41		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝐽‘𝐵)))
42		suceq 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → suc 𝑤 = suc (𝐽‘𝐵))
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))
44	41, 43	difeq12d 3729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝐽‘𝐵) → ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
45		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∈ V
46		difexg 4808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))) ∈ V)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))) ∈ V
48	44, 26, 47	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝐵) ∈ 𝑆 → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
49	40, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
50	37, 49	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝑤 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
51	34, 50	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐾‘𝐵) = ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵))))
52	33, 51	ineq12d 3815	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))))
53		simpll 790	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝜑)
54		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
55		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽:ω–1-1-onto→𝑆 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐽:ω–1-1→𝑆)
58		f1fveq 6519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽:ω–1-1→𝑆 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
59	57, 58	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
60	59	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐽‘𝐴) = (𝐽‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
61	60	necon3d 2815	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)))
62	54, 61	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵))
63	5, 21	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐴) ∈ ω)
64	5, 40	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐽‘𝐵) ∈ ω)
65	6, 7, 8	isf32lem4 9178	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐽‘𝐴) ≠ (𝐽‘𝐵)) ∧ ((𝐽‘𝐴) ∈ ω ∧ (𝐽‘𝐵) ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
66	53, 62, 63, 64, 65	syl22anc 1327	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹‘(𝐽‘𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐴))) ∩ ((𝐹‘(𝐽‘𝐵)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽‘𝐵)))) = ∅)
67	52, 66	eqtrd 2656	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐾‘𝐴) ∩ (𝐾‘𝐵)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∩ cint 4475   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115   ∘ ccom 5118  suc csuc 5725  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  ωcom 7065   ≈ cen 7952  Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  isf32lem9  9183