Theorem f1fveq 6519

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 6514	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6191	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 215	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  f1elima  6520  f1dom3fv3dif  6525  cocan1  6546  isof1oidb  6574  isosolem  6597  f1oiso  6601  weniso  6604  f1oweALT  7152  2dom  8029  xpdom2  8055  wemapwe  8594  fseqenlem1  8847  dfac12lem2  8966  infpssrlem4  9128  fin23lem28  9162  isf32lem7  9181  iundom2g  9362  canthnumlem  9470  canthwelem  9472  canthp1lem2  9475  pwfseqlem4  9484  seqf1olem1  12840  bitsinv2  15165  bitsf1  15168  sadasslem  15192  sadeq  15194  bitsuz  15196  eulerthlem2  15487  f1ocpbllem  16184  f1ovscpbl  16186  fthi  16578  ghmf1  17689  f1omvdmvd  17863  odf1  17979  dprdf1o  18431  ply1scln0  19661  zntoslem  19905  iporthcom  19980  cnt0  21150  cnhaus  21158  imasdsf1olem  22178  imasf1oxmet  22180  dyadmbl  23368  vitalilem3  23379  dvcnvlem  23739  facth1  23924  usgredg2v  26119  erdszelem9  31181  cvmliftmolem1  31263  msubff1  31453  metf1o  33551  rngoisocnv  33780  laut11  35372  gicabl  37669  fourierdlem50  40373