Theorem islssd 18936

Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
islssd.t	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
islssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
islssd.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
islssd.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
islssd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
2		islssd.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3	1, 2	sseqtrd 3641	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
5		islssd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
6	5	3exp2 1285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
7	6	imp43 621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
8	7	ralrimivva 2971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9	8	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10		islssd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))
11		islssd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15		islssd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑊))
16	15	oveqd 6667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
17		islssd.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	17	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎))
19	18	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
20	16, 19	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏))
21	20	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22	21	2ralbidv 2989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
23	9, 14, 22	3imtr3d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
24	23	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
29		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
30		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	islss 18935	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
32	3, 4, 24, 31	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33		islssd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
34	32, 33	eleqtrrd 2704	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lss1  18939  lsssn0  18948  islss3  18959  lss1d  18963  lssintcl  18964  lspsolvlem  19142  lbsextlem2  19159  mpllsslem  19435  scmatlss  20331  dialss  36335  diblss  36459  diclss  36482  lincolss  42223