Theorem lsssn0 18948

Description: The singleton of the zero vector is a subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0cl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsssn0

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2623	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lss0cl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lss0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 18892	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	snssd 4340	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝑊))
12		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
13	9, 12	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
14	13	snnz 4309	. . 3 ⊢ { 0 } ≠ ∅
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ≠ ∅)
16		simpr2 1068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 ∈ { 0 })
17		elsni 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } → 𝑎 = 0 )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑎 = 0 )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ))
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
23	20, 21, 22, 9	lmodvs0 18897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
24	23	3ad2antr1 1226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊) 0 ) = 0 )
25	19, 24	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) = 0 )
26		simpr3 1069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 ∈ { 0 })
27		elsni 4194	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } → 𝑏 = 0 )
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → 𝑏 = 0 )
29	25, 28	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = ( 0 (+g‘𝑊) 0 ))
30		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
31	8, 30, 9	lmod0vlid 18893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
32	10, 31	mpdan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
33	32	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ( 0 (+g‘𝑊) 0 ) = 0 )
34	29, 33	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
35		ovex 6678	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
36	35	elsn 4192	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) = 0 )
37	34, 36	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 })) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ { 0 })
38	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 15, 37	islssd 18936	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lspsn0  19008  lsp0  19009  lmhmkerlss  19051  lidl0  19219  lsatcv0  34318  lsatcveq0  34319  lsat0cv  34320  lsatcv0eq  34334  dochsat  36672  mapd0  36954  mapdcnvatN  36955  mapdat  36956  mapdn0  36958  hdmapeq0  37136