Theorem lssss 18937

Description: A subspace is a set of vectors. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssss	⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lssss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		eqid 2622	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 18935	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp1bi 1076	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lssel  18938  lssuni  18940  00lss  18942  lsssubg  18957  islss3  18959  lsslss  18961  lssintcl  18964  lssmre  18966  lssacs  18967  lspid  18982  lspssv  18983  lspssp  18988  lsslsp  19015  lmhmima  19047  reslmhm  19052  lsmsp  19086  pj1lmhm  19100  lsppratlem2  19148  lsppratlem3  19149  lsppratlem4  19150  lspprat  19153  lbsextlem3  19160  lidlss  19210  ocvin  20018  pjdm2  20055  pjff  20056  pjf2  20058  pjfo  20059  pjcss  20060  frlmgsum  20111  frlmsplit2  20112  lsslindf  20169  lsslinds  20170  lssbn  23148  minveclem1  23195  minveclem2  23197  minveclem3a  23198  minveclem3b  23199  minveclem3  23200  minveclem4a  23201  minveclem4b  23202  minveclem4  23203  minveclem6  23205  minveclem7  23206  pjthlem1  23208  pjthlem2  23209  pjth  23210  islshpsm  34267  lshpnelb  34271  lshpnel2N  34272  lshpcmp  34275  lsatssv  34285  lssats  34299  lpssat  34300  lssatle  34302  lssat  34303  islshpcv  34340  lkrssv  34383  lkrlsp  34389  dvhopellsm  36406  dvadiaN  36417  dihss  36540  dihrnss  36567  dochord2N  36660  dochord3  36661  dihoml4  36666  dochsat  36672  dochshpncl  36673  dochnoncon  36680  djhlsmcl  36703  dihjat1lem  36717  dochsatshp  36740  dochsatshpb  36741  dochshpsat  36743  dochexmidlem2  36750  dochexmidlem5  36753  dochexmidlem6  36754  dochexmidlem7  36755  dochexmidlem8  36756  lclkrlem2p  36811  lclkrlem2v  36817  lcfrlem5  36835  lcfr  36874  mapdpglem17N  36977  mapdpglem18  36978  mapdpglem21  36981  islssfg  37640  islssfg2  37641  lnmlsslnm  37651  kercvrlsm  37653  lnmepi  37655  filnm  37660  gsumlsscl  42164  lincellss  42215  ellcoellss  42224