Theorem mapfzcons1 37280

Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		fnresdm 6000	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
5	4	uneq1d 3766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6		resundir 5411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7		dmres 5419	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8		dmsnopss 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9		mapfzcons.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
10	9	sneqi 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
11	8, 10	sseqtri 3637	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12		sslin 3839	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 12399	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15		sseq0 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
16	13, 14, 15	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18		relres 5426	. . . . . 6 ⊢ Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19		reldm0 5343	. . . . . 6 ⊢ (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
21	17, 20	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
22	21	uneq2i 3764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23		un0 3967	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
24	22, 23	eqtr2i 2645	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
25	5, 6, 24	3eqtr4g 2681	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  Rel wrel 5119   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  1c1 9937   + caddc 9939  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37358