Theorem mapfzcons2 37282

Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfzcons.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
2		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5		elex 3212	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7		elmapi 7879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8		fdm 6051	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → dom 𝐴 = (1...𝑁))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
11	10	ineq1d 3813	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
12	1	sneqi 4188	. . . . . 6 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
13	12	ineq2i 3811	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 12399	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15	13, 14	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
16	11, 15	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
17		disjsn 4246	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
18	16, 17	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
19		fsnunfv 6453	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
20	4, 6, 18, 19	syl3anc 1326	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  1c1 9937   + caddc 9939  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37358