Theorem matrcl 20218

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 20214	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpt2ndm0 6875	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 15912	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2681	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ⟨cop 4183  ⟨cotp 4185   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   freeLMod cfrlm 20090   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-slot 15861  df-base 15863  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  matbas2i  20228  matecl  20231  matplusg2  20233  matvsca2  20234  matplusgcell  20239  matsubgcell  20240  matinvgcell  20241  matvscacell  20242  matmulcell  20251  mattposcl  20259  mattposvs  20261  mattposm  20265  matgsumcl  20266  madetsumid  20267  madetsmelbas  20270  madetsmelbas2  20271  marrepval0  20367  marrepval  20368  marrepcl  20370  marepvval0  20372  marepvval  20373  marepvcl  20375  ma1repveval  20377  mulmarep1gsum1  20379  mulmarep1gsum2  20380  submabas  20384  submaval0  20386  submaval  20387  mdetleib2  20394  mdetf  20401  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetmul  20429  maduval  20444  maducoeval2  20446  maduf  20447  madutpos  20448  madugsum  20449  madurid  20450  madulid  20451  minmar1val0  20453  minmar1val  20454  marep01ma  20466  smadiadetlem0  20467  smadiadetlem1a  20469  smadiadetlem3  20474  smadiadetlem4  20475  smadiadet  20476  smadiadetglem2  20478  matinv  20483  matunit  20484  slesolvec  20485  slesolinv  20486  slesolinvbi  20487  slesolex  20488  cramerimplem2  20490  cramerimplem3  20491  cramerimp  20492  decpmatcl  20572  decpmataa0  20573  decpmatmul  20577  smatcl  29868  matunitlindflem2  33406  matunitlindf  33407