Theorem matplusg2 20233

Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusg2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusg2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐴)
matplusg2.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matplusg2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem matplusg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusg2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusg2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 20218	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matplusg 20220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘𝐴))
7		matplusg2.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐴)
8	6, 7	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ✚ )
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ✚ )
10	9	oveqd 6667	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ✚ 𝑌))
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12	4	simprd 479	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
13	4	simpld 475	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 8231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	1, 5	matbas 20219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	18, 2	syl6eqr 2674	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
20	16, 19	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
21		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	21, 19	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
23		matplusg2.q	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
24		eqid 2622	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
25	5, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24	frlmplusgval 20107	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))
26	10, 25	eqtr3d 2658	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   freeLMod cfrlm 20090   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  matplusgcell  20239  matring  20249  mat2pmatghm  20535  pm2mpghm  20621