Theorem mulresr 9960

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 9901	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		mulcnsr 9957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
3	2	an4s 869	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 721	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5		00sr 9920	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7	6	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8		m1r 9903	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
9		00sr 9920	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
11	7, 10	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
12	11	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13		mulclsr 9905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14		0idsr 9918	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
16	12, 15	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17		mulcomsr 9910	. . . . . 6 ⊢ (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18		00sr 9920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
19	17, 18	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20		00sr 9920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
21	19, 20	oveqan12rd 6670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22		0idsr 9918	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
24	21, 23	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
25	16, 24	opeq12d 4410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
26	4, 25	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  (class class class)co 6650  Rcnr 9687  0_Rc0r 9688  -1_Rcm1r 9690   +_R cplr 9691   ·_R cmr 9692   · cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-mp 9806  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-mr 9880  df-0r 9882  df-m1r 9884  df-c 9942  df-mul 9948

This theorem is referenced by:  axmulrcl  9975  ax1rid  9982  axrrecex  9984  axpre-mulgt0  9989