Theorem opprmulfval 18625

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
5	4	tposex 7386	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
6		mulrid 15997	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7	6	setsid 15914	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8	5, 7	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
9		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
11	9, 2, 10	opprval 18624	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
12	11	fveq2i 6194	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
13	8, 12	syl6reqr 2675	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
14		tpos0 7382	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
15	6	str0 15911	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
16	14, 15	eqtr2i 2645	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
17		fvprc 6185	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
18	10, 17	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
19	18	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
20		fvprc 6185	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
21	2, 20	syl5eq 2668	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
22	21	tposeqd 7355	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
23	16, 19, 22	3eqtr4a 2682	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
24	13, 23	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
25	1, 24	eqtri 2644	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  tpos ctpos 7351  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  opp_rcoppr 18622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-mulr 15955  df-oppr 18623

This theorem is referenced by:  opprmul  18626