Theorem ordgt0ge1 7577

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 5778	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 7020	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 706	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 7560	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 3629	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	syl6bbr 278	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  Ord word 5722  Oncon0 5723  suc csuc 5725  1_𝑜c1o 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-1o 7560

This theorem is referenced by:  ordge1n0  7578  oe0m1  7601  omword1  7653  omword2  7654  omlimcl  7658  oen0  7666  oewordi  7671