Theorem tendoicl 36084

Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
tendoicl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendoicl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2622	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simpl 473	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpll 790	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	2, 3, 5	tendocl 36055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
9	8	3expa 1265	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
10	2, 3	ltrncnv 35432	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔))
13	11, 12	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇)
14		tendoicl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
15	14, 3	tendoi 36082	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
17	16	feq1d 6030	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇))
18	13, 17	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇)
19		simp1r 1086	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
20	2, 3	ltrnco 36007	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
21	20	3adant1r 1319	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
22	14, 3	tendoi2 36083	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
23	19, 21, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
24		cnvco 5308	. . . 4 ⊢ ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ))
25	2, 3	ltrncom 36026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
26	25	3adant1r 1319	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
27	26	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)))
28		simp1ll 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
29		simp1lr 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
30		simp3 1063	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
31		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
32	2, 3, 5	tendovalco 36053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
33	28, 29, 19, 30, 31, 32	syl32anc 1334	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
34	27, 33	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
35	34	cnveqd 5298	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
36	14, 3	tendoi2 36083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
37	19, 31, 36	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
38	14, 3	tendoi2 36083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
39	19, 30, 38	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
40	37, 39	coeq12d 5286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ)))
41	24, 35, 40	3eqtr4a 2682	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
42	23, 41	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
43	36	adantll 750	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
44	43	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)))
45	2, 3, 4	trlcnv 35452	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
46	7, 9, 45	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
47	44, 46	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
48	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 36049	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49	48	3expa 1265	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
50	47, 49	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
51	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 42, 50	istendod 36050	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  lecple 15948  HLchlt 34637  LHypclh 35270  LTrncltrn 35387  trLctrl 35445  TEndoctendo 36040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043

This theorem is referenced by:  tendoipl  36085  tendoipl2  36086  erngdvlem1  36276  erngdvlem1-rN  36284  dihjatcclem4  36710