Theorem unxpdom2 8168

Description: Corollary of unxpdom 8167. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7962	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5159	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 7719	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
5		xpsneng 8045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 8007	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}))
8		endom 7982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
10		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 4790	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 8045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 8007	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 8015	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 7575	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
18		xpsndisj 5557	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 8048	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 1325	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 8094	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
23	7, 22	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
24		sdomentr 8094	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 8167	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 8123	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 8015	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 8009	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 693	1 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ωcom 7065  1_𝑜c1o 7553   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by: (None)