Theorem endom 7982

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 7980	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 4697	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 4653   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  bren2  7986  domrefg  7990  endomtr  8014  domentr  8015  domunsncan  8060  sbthb  8081  sdomentr  8094  ensdomtr  8096  domtriord  8106  domunsn  8110  xpen  8123  unxpdom2  8168  sucxpdom  8169  wdomen1  8481  wdomen2  8482  fidomtri2  8820  prdom2  8829  acnen  8876  acnen2  8878  alephdom  8904  alephinit  8918  uncdadom  8993  pwcdadom  9038  fin1a2lem11  9232  hsmexlem1  9248  gchdomtri  9451  gchcdaidm  9490  gchxpidm  9491  gchpwdom  9492  gchhar  9501  gruina  9640  nnct  12780  odinf  17980  hauspwdom  21304  ufildom1  21730  iscmet3  23091  ovolctb2  23260  mbfaddlem  23427  heiborlem3  33612  zct  39229  qct  39578  caratheodory  40742