Theorem wepwsolem 37612

Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wepwso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
wepwso.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wepwso.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1𝑜}))

Assertion

Ref	Expression
wepwsolem	⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑇,𝑎   𝑈,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐹(𝑎)

Proof of Theorem wepwsolem

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wepwso.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ↦ (◡𝑎 “ {1𝑜}))
2	1	pw2f1o2 37605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹:(2𝑜 ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
3		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐‘𝑧) ∈ V
4	3	epelc 5031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
5		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
6	5	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → 𝑏:𝐴⟶2𝑜)
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜)
8		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
9	8	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → 𝑐:𝐴⟶2𝑜)
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜)
11		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑐‘𝑧) = ∅)
13		elpri 4197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
14		df2o3 7573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
15	13, 14	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
17		orel1 397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑧) = ∅ → (((𝑐‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
18	12, 16, 17	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜)
19		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1𝑜 ∈ On
20	19	onirri 5834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1𝑜 ∈ 1𝑜
21		eleq12 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ 1𝑜 ∈ 1𝑜))
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
23	22	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
24	23	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) → ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜)))
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
26	25	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → 1𝑜 ∈ 1𝑜))
27	20, 26	mtoi 190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) ∧ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)
28	18, 27	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)
29	18, 28	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧)) → ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
30		elpri 4197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
31	30, 14	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
33		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜 → (((𝑏‘𝑧) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑧) = ∅))
34	32, 33	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
35	34	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) = ∅)
36		0lt1o 7584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
37	35, 36	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) ∈ 1𝑜)
38		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑧) = 1𝑜)
39	37, 38	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) ∧ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧))
40	29, 39	impbida 877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘𝑧) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑧) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
41	7, 10, 40	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
42		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
43	1	pw2f1o2val2 37607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
44	42, 43	sylancom 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑧) = 1𝑜))
45		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
46	1	pw2f1o2val2 37607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
47	45, 46	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
48	47	notbid 308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜))
49	44, 48	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑐‘𝑧) = 1𝑜 ∧ ¬ (𝑏‘𝑧) = 1𝑜)))
50	41, 49	bitr4d 271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) ∈ (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
51	4, 50	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
52	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜)
53	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜)
54		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = ∅)
56		1n0 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
57	56	nesymi 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ = 1𝑜
58		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ ∅ = 1𝑜))
59	57, 58	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑤) = ∅ → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
60	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
62	60, 61	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ¬ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)
63		elpri 4197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
64	63, 14	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
65	64	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
66		orel2 398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜 → (((𝑐‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑐‘𝑤) = ∅))
67	62, 65, 66	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑤) = ∅)
68	55, 67	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
69	68	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = ∅) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
70		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = 1𝑜)
71		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
72	70, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)
73	70, 72	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) ∧ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
74	73	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) ∧ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
75		elpri 4197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
76	75, 14	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑤) = ∅ ∨ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
78	69, 74, 77	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → (((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜) → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
79	54, 78	impbid2 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏‘𝑤) ∈ 2𝑜 ∧ (𝑐‘𝑤) ∈ 2𝑜) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
80	52, 53, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
81		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
82	1	pw2f1o2val2 37607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
83	81, 82	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑏‘𝑤) = 1𝑜))
84		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))
85	1	pw2f1o2val2 37607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
86	84, 85	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐) ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜))
87	83, 86	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝑏‘𝑤) = 1𝑜 ↔ (𝑐‘𝑤) = 1𝑜)))
88	80, 87	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
89	88	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
90	89	ralbidva 2985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
91	90	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
92	51, 91	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
93	92	rexbidva 3049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
94		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑏 ∈ V
95		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑐 ∈ V
96		fveq1 6190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑧) = (𝑏‘𝑧))
97		fveq1 6190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑧) = (𝑐‘𝑧))
98	96, 97	breqan12d 4669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ↔ (𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧)))
99		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥‘𝑤) = (𝑏‘𝑤))
100		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))
101	99, 100	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤) ↔ (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))
102	101	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
103	102	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
104	98, 103	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
105	104	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = 𝑐) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤)))))
106		wepwso.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧) E (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
107	94, 95, 105, 106	braba 4992	. . . 4 ⊢ (𝑏𝑈𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑧) E (𝑐‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑏‘𝑤) = (𝑐‘𝑤))))
108		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑏) ∈ V
109		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑐) ∈ V
110		eleq2 2690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐)))
111		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
112	111	notbid 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)))
113	110, 112	bi2anan9r 918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏))))
114		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑏) → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏)))
115		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑤 ∈ 𝑦 ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))
116	114, 115	bi2bian9 919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))
117	116	imbi2d 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → ((𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
118	117	ralbidv 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
119	113, 118	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
120	119	rexbidv 3052	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑏) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑐)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐))))))
121		wepwso.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑥 ↔ 𝑤 ∈ 𝑦)))}
122	108, 109, 120, 121	braba 4992	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ∈ (𝐹‘𝑐) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑏)) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑤 ∈ (𝐹‘𝑏) ↔ 𝑤 ∈ (𝐹‘𝑐)))))
123	93, 107, 122	3bitr4g 303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴))) → (𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
124	123	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐)))
125		df-isom 5897	. 2 ⊢ (𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴) ↔ (𝐹:(2𝑜 ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)∀𝑐 ∈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐴)(𝑏𝑈𝑐 ↔ (𝐹‘𝑏)𝑇(𝐹‘𝑐))))
126	2, 124, 125	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐹 Isom 𝑈, 𝑇 ((2𝑜 ↑𝑚 𝐴), 𝒫 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  {copab 4712   ↦ cmpt 4729   E cep 5028  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   ↑_𝑚 cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-2o 7561  df-map 7859

This theorem is referenced by:  wepwso  37613