Theorem caovord2d 5690

Description: Operation ordering law with commuted arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovordg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
caovordd.2	|- ( ph -> A e. S )
caovordd.3	|- ( ph -> B e. S )
caovordd.4	|- ( ph -> C e. S )
caovord2d.com	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )

Assertion

Ref	Expression
caovord2d	|- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem caovord2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caovordg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( x R y <-> ( z F x ) R ( z F y ) ) )
2		caovordd.2	. . 3 |- ( ph -> A e. S )
3		caovordd.3	. . 3 |- ( ph -> B e. S )
4		caovordd.4	. . 3 |- ( ph -> C e. S )
5	1, 2, 3, 4	caovordd 5689	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> ( C F A ) R ( C F B ) ) )
6		caovord2d.com	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) = ( y F x ) )
7	6, 4, 2	caovcomd 5677	. . 3 |- ( ph -> ( C F A ) = ( A F C ) )
8	6, 4, 3	caovcomd 5677	. . 3 |- ( ph -> ( C F B ) = ( B F C ) )
9	7, 8	breq12d 3798	. 2 |- ( ph -> ( ( C F A ) R ( C F B ) <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )
10	5, 9	bitrd 186	1 |- ( ph -> ( A R B <-> ( A F C ) R ( B F C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  caovord3d  5691  genplt2i  6700  addnqprllem  6717  addnqprulem  6718  mulnqprl  6758  mulnqpru  6759  distrlem4prl  6774  distrlem4pru  6775  1idprl  6780  1idpru  6781  ltexprlemdisj  6796  ltexprlemloc  6797  ltexprlemfl  6799  ltexprlemfu  6801  prplnqu  6810  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824  aptiprleml  6829  aptiprlemu  6830  caucvgprlemcanl  6834  cauappcvgprlemlol  6837  cauappcvgprlemloc  6842  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  cauappcvgprlem1  6849  caucvgprlemnkj  6856  caucvgprlemnbj  6857  caucvgprlemlol  6860  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprprlemnkltj  6879  caucvgprprlemnbj  6883  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemlol  6888  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlemexb  6897  caucvgprprlemaddq  6898  lttrsr  6939  ltsosr  6941  prsrlt  6963  caucvgsrlemoffcau  6974  caucvgsrlemoffgt1  6975  caucvgsrlemoffres  6976  caucvgsr  6978