caucvgsrlemoffres - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem caucvgsrlemoffres 6976

Description: Lemma for caucvgsr 6978. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgsrlemoffres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑎,𝑘 𝑥,𝐴,𝑗,𝑘 𝐴,𝑚,𝑘 𝑦,𝐴,𝑗,𝑘,𝑥 𝐹,𝑎,𝑘 𝑦,𝐹 𝑥,𝐺,𝑗,𝑘 𝐺,𝑙,𝑢,𝑗,𝑘 𝑚,𝐺,𝑛,𝑘 𝑛,𝑙,𝑢 𝑛,𝑎,𝜑,𝑘 𝜑,𝑥,𝑗 𝜑,𝑚,𝑛,𝑎 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑛,𝑙) 𝐹(𝑥,𝑢,𝑗,𝑚,𝑛,𝑙) 𝐺(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres Dummy variables 𝑖 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <_R ((𝐹‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <_R (𝐹‘𝑚))
4		caucvgsrlembnd.offset	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +_R 1_R) +_R (𝐴 ·_R -1_R)))
5	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemofff 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
6	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffcau 6974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <_N 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) <_R ((𝐺‘𝑘) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ) ∧ (𝐺‘𝑘) <_R ((𝐺‘𝑛) +_R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q )}, {𝑢 ∣ (_Q‘[⟨𝑛, 1_𝑜⟩] ~_Q ) <_Q 𝑢}⟩ +_P 1_P), 1_P⟩] ~_R ))))
7	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffgt1 6975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1_R <_R (𝐺‘𝑚))
8	5, 6, 7	caucvgsrlemgt1 6971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))
9		simprl 497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝑧 ∈ R)
10	3	caucvgsrlemasr 6966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
11	10	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 6930	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
13	9, 11, 12	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
14		m1r 6929	. . . 4 ⊢ -1_R ∈ R
15		addclsr 6930	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
16	13, 14, 15	sylancl 404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R)
17		ltasrg 6947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <_R 𝑔 ↔ (ℎ +_R 𝑓) <_R (ℎ +_R 𝑔)))
19	5	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐺:N⟶R)
20		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑖 ∈ N)
21	19, 20	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐺‘𝑖) ∈ R)
22		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑧 ∈ R)
23		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝑥 ∈ R)
24		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
25	22, 23, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝑥) ∈ R)
26	10	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
27		addcomsrg 6932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
28	27	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +_R 𝑔) = (𝑔 +_R 𝑓))
29	18, 21, 25, 26, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
30	1, 2, 3, 4	caucvgsrlemoffval 6972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
31	30	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
32	31	adantlr 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) = ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R))
33	32	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
34	29, 33	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
35		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 +_R 𝑔) +_R ℎ) = (𝑓 +_R (𝑔 +_R ℎ)))
37	22, 23, 26, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥))
38	37	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥)))
39	1	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → 𝐹:N⟶R)
40	39	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝐹‘𝑖) ∈ R)
41		1sr 6928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1_R ∈ R
42		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
43	40, 41, 42	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R)
44	22, 26, 12	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 +_R 𝐴) ∈ R)
45		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +_R 𝐴) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
46	44, 23, 45	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ∈ R)
47	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → -1_R ∈ R)
48	18, 43, 46, 47, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
49	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → 1_R ∈ R)
50		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
51	40, 49, 47, 50	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)))
52		addcomsrg 6932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R))
53	41, 14, 52	mp2an 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1_R +_R -1_R) = (-1_R +_R 1_R)
54		m1p1sr 6937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1_R +_R 1_R) = 0_R
55	53, 54	eqtri 2101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1_R +_R -1_R) = 0_R
56	55	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R)
57		0idsr 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ R → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
58	40, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 0_R) = (𝐹‘𝑖))
59	56, 58	syl5eq 2125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R (1_R +_R -1_R)) = (𝐹‘𝑖))
60	51, 59	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) = (𝐹‘𝑖))
61	44, 23, 47, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
62	60, 61	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R -1_R) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
63	48, 62	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) <_R ((𝑧 +_R 𝐴) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
64	34, 38, 63	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
65	64	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) → (𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
66		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
67	21, 23, 66	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
68	18, 22, 67, 26, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴)))
69	21, 23, 26, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥))
70	32	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝐴) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
71	69, 70	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) = (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥))
72	71	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 𝐴) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
73	68, 72	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ (𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥)))
74		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
75	43, 23, 74	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ∈ R)
76	18, 44, 75, 47, 28	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑧 +_R 𝐴) <_R (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R)))
77	40, 49, 23, 28, 36	caov32d 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R))
78	77	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R))
79		addclsr 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
80	40, 23, 79	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R)
81		addasssrg 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R ∧ 1_R ∈ R ∧ -1_R ∈ R) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
82	80, 49, 47, 81	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 1_R) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
83	78, 82	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)))
84	55	oveq2i 5543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R (1_R +_R -1_R)) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R)
85	83, 84	syl6eq 2129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R))
86		0idsr 6944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ∈ R → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
87	80, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) +_R 0_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
88	85, 87	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) = ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))
89	88	breq2d 3797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((((𝐹‘𝑖) +_R 1_R) +_R 𝑥) +_R -1_R) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
90	73, 76, 89	3bitrd 212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
91	90	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥) → ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))
92	65, 91	anim12d 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → (((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)) → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))))
93	92	imim2d 53	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑖 ∈ N) → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
94	93	ralimdva 2429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)))))
95		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑗 <_N 𝑖 ↔ 𝑗 <_N 𝑘))
96		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
97	96	breq1d 3795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
98	96	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) = ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))
99	98	breq2d 3797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
100	97, 99	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
101	95, 100	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
102	101	cbvralv 2577	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐹‘𝑖) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑖) +_R 𝑥))) ↔ ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
103	94, 102	syl6ib 159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
104	103	reximdv 2462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
105	104	imim2d 53	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ 𝑥 ∈ R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
106	105	ralimdva 2429	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
107	106	impr 371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
108		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 +_R 𝑥) = (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥))
109	108	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ↔ (𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥)))
110		breq1 3788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥) ↔ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))
111	109, 110	anbi12d 456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))
112	111	imbi2d 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
113	112	rexralbidv 2392	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))) ↔ ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
114	113	imbi2d 228	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → ((0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
115	114	ralbidv 2368	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) → (∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))))
116	115	rspcev 2701	. . 3 ⊢ ((((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) +_R 𝑥) ∧ ((𝑧 +_R 𝐴) +_R -1_R) <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
117	16, 107, 116	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ R ∧ ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑖 ∈ N (𝑗 <_N 𝑖 → ((𝐺‘𝑖) <_R (𝑧 +_R 𝑥) ∧ 𝑧 <_R ((𝐺‘𝑖) +_R 𝑥)))))) → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))
118	8, 117	rexlimddv 2481	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0_R <_R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <_N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <_R (𝑦 +_R 𝑥) ∧ 𝑦 <_R ((𝐹‘𝑘) +_R 𝑥)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 ∧ w3a 919 = wceq 1284 ∈ wcel 1433 {cab 2067 ∀wral 2348 ∃wrex 2349 ⟨cop 3401 class class class wbr 3785 ↦ cmpt 3839 ⟶wf 4918 ‘cfv 4922 (class class class)co 5532 1_𝑜c1o 6017 [cec 6127 Ncnpi 6462 <_N clti 6465 ~_Q ceq 6469 *_Qcrq 6474 <_Q cltq 6475 1_Pc1p 6482 +_P cpp 6483 ~_R cer 6486 Rcnr 6487 0_Rc0r 6488 1_Rc1r 6489 -1_Rcm1r 6490 +_R cplr 6491 ·_R cmr 6492 <_R cltr 6493

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-eprel 4044 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-irdg 5980 df-1o 6024 df-2o 6025 df-oadd 6028 df-omul 6029 df-er 6129 df-ec 6131 df-qs 6135 df-ni 6494 df-pli 6495 df-mi 6496 df-lti 6497 df-plpq 6534 df-mpq 6535 df-enq 6537 df-nqqs 6538 df-plqqs 6539 df-mqqs 6540 df-1nqqs 6541 df-rq 6542 df-ltnqqs 6543 df-enq0 6614 df-nq0 6615 df-0nq0 6616 df-plq0 6617 df-mq0 6618 df-inp 6656 df-i1p 6657 df-iplp 6658 df-imp 6659 df-iltp 6660 df-enr 6903 df-nr 6904 df-plr 6905 df-mr 6906 df-ltr 6907 df-0r 6908 df-1r 6909 df-m1r 6910

This theorem is referenced by: caucvgsrlembnd 6977

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