Theorem ialgcvga 10433

Description: The countdown function C remains 0 after N steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	|- F : S --> S
algcvga.2	|- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) , S )
algcvga.3	|- C : S --> NN0
algcvga.4	|- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
algcvga.5	|- N = ( C ` A )
ialgcvga.s	|- S e. V

Assertion

Ref	Expression
ialgcvga	|- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   z, C   z, F   z, R   z, S

Allowed substitution hints:   A( z)   K( z)   N( z)   V( z)

Proof of Theorem ialgcvga

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 |- N = ( C ` A )
2		algcvga.3	. . . 4 |- C : S --> NN0
3	2	ffvelrni 5322	. . 3 |- ( A e. S -> ( C ` A ) e. NN0 )
4	1, 3	syl5eqel 2165	. 2 |- ( A e. S -> N e. NN0 )
5		nn0z 8371	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		eluz1 8623	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( K e. ZZ /\ N <_ K ) ) )
7		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( R ` m ) = ( R ` N ) )
8	7	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` N ) ) )
9	8	eqeq1d 2089	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
10	9	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) ) )
11		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( R ` m ) = ( R ` k ) )
12	11	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
13	12	eqeq1d 2089	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) )
14	13	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) ) )
15		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( R ` m ) = ( R ` ( k + 1 ) ) )
16	15	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) )
17	16	eqeq1d 2089	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
18	17	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
19		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( m = K -> ( R ` m ) = ( R ` K ) )
20	19	fveq2d 5202	. . . . . . . . 9 |- ( m = K -> ( C ` ( R ` m ) ) = ( C ` ( R ` K ) ) )
21	20	eqeq1d 2089	. . . . . . . 8 |- ( m = K -> ( ( C ` ( R ` m ) ) = 0 <-> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
22	21	imbi2d 228	. . . . . . 7 |- ( m = K -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` m ) ) = 0 ) <-> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
23		algcvga.1	. . . . . . . . 9 |- F : S --> S
24		algcvga.2	. . . . . . . . 9 |- R = seq 0 ( ( F o. 1st ) , ( NN0 X. { A } ) , S )
25		algcvga.4	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) )
26		ialgcvga.s	. . . . . . . . 9 |- S e. V
27	23, 24, 2, 25, 1, 26	ialgcvg 10430	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 )
28	27	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` N ) ) = 0 ) )
29		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
30	29	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> 0 <_ N )
31		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
32		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33		0re 7119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
34		letr 7194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
35	33, 34	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
36	31, 32, 35	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ k ) -> 0 <_ k ) )
37	30, 36	mpand 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> 0 <_ k ) )
38		elnn0z 8364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. ZZ /\ 0 <_ k ) )
39	38	simplbi2 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
40	39	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 0 <_ k -> k e. NN0 ) )
41	37, 40	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
42	4, 41	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. S /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k -> k e. NN0 ) )
43	42	impr 371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ ( k e. ZZ /\ N <_ k ) ) -> k e. NN0 )
44	43	expcom 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
45	44	3adant1 956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> k e. NN0 ) )
46	45	ancld 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( A e. S /\ k e. NN0 ) ) )
47		nn0uz 8653	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
48		0zd 8363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> 0 e. ZZ )
49		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> A e. S )
50	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> F : S --> S )
51	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. S -> S e. V )
52	47, 24, 48, 49, 50, 51	ialgrf 10427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. S -> R : NN0 --> S )
53	52	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` k ) e. S )
54		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( R ` k ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
55	54	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` ( F ` z ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
56	55	neeq1d 2263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 ) )
57		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R ` k ) -> ( C ` z ) = ( C ` ( R ` k ) ) )
58	55, 57	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
59	56, 58	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( R ` k ) -> ( ( ( C ` ( F ` z ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` z ) ) < ( C ` z ) ) <-> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) ) )
60	59, 25	vtoclga 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) )
61	23, 2	algcvgb 10432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) <-> ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) ) )
62		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` ( R ` k ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) /\ ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
63	61, 62	syl6bi 161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) =/= 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) < ( C ` ( R ` k ) ) ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) ) )
64	60, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
65	53, 64	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
66	47, 24, 48, 49, 50, 51	ialgrp1 10428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( R ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( R ` k ) ) )
67	66	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) )
68	67	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 <-> ( C ` ( F ` ( R ` k ) ) ) = 0 ) )
69	65, 68	sylibrd 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. S /\ k e. NN0 ) -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) )
70	46, 69	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( A e. S -> ( ( C ` ( R ` k ) ) = 0 -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
71	70	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ /\ N <_ k ) -> ( ( A e. S -> ( C ` ( R ` k ) ) = 0 ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) ) )
72	10, 14, 18, 22, 28, 71	uzind 8458	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )
73	72	3expib 1141	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ N <_ K ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
74	6, 73	sylbid 148	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
75	5, 74	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( A e. S -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
76	75	com3r 78	. 2 |- ( A e. S -> ( N e. NN0 -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) ) )
77	4, 76	mpd 13	1 |- ( A e. S -> ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> ( C ` ( R ` K ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   {csn 3398   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   o. ccom 4367   -->wf 4918   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1stc1st 5785   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  ialgfx  10434  eucialgcvga  10440