Theorem prcunqu 6675

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6555	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4410	. . . . 5 |- ( C <Q B -> ( C e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simprd 112	. . . 4 |- ( C <Q B -> B e. Q. )
4	3	adantl 271	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. Q. )
5		breq2 3789	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( C <Q b <-> C <Q B ) )
6		eleq1 2141	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b e. U <-> B e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( C <Q b -> b e. U ) <-> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) ) )
9	1	brel 4410	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( C e. Q. /\ b e. Q. ) )
10		an42 551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) <-> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) )
11		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c <Q b <-> C <Q b ) )
12		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c e. U <-> C e. U ) )
13	11, 12	anbi12d 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = C -> ( ( c <Q b /\ c e. U ) <-> ( C <Q b /\ C e. U ) ) )
14	13	rspcev 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) )
15		elinp 6664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) )
16		simpr1r 996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
17	15, 16	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
18	17	r19.21bi 2449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
19	14, 18	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
20	19	3impb 1134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Q. /\ C <Q b /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
21	20	3com12 1142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C <Q b /\ C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
22	21	3expib 1141	. . . . . . . . . 10 |- ( C <Q b -> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) ) )
23	22	impd 251	. . . . . . . . 9 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) -> b e. U ) )
24	10, 23	syl5bi 150	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) -> b e. U ) )
25	9, 24	mpand 419	. . . . . . 7 |- ( C <Q b -> ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> b e. U ) )
26	25	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
27	26	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
28	8, 27	vtoclg 2658	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
29	28	impd 251	. . 3 |- ( B e. Q. -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U ) )
30	4, 29	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U )
31	30	ex 113	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   Q.cnq 6470   <Q cltq 6475   P.cnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-qs 6135  df-ni 6494  df-nqqs 6538  df-ltnqqs 6543  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  prarloc  6693  prarloc2  6694  addnqprulem  6718  nqpru  6742  prmuloc2  6757  mulnqpru  6759  distrlem4pru  6775  1idpru  6781  ltexprlemm  6790  ltexprlemupu  6794  ltexprlemrl  6800  ltexprlemfu  6801  ltexprlemru  6802  aptiprlemu  6830