Theorem 1idpru 6781

Description: Lemma for 1idpr 6782. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1idpru	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Proof of Theorem 1idpru

Dummy variables x y z w v u f h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3018	. . . . . 6 |- ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P )
2		rexss 3061	. . . . . 6 |- ( ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) )
4		r19.42v 2511	. . . . . 6 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
5		1pr 6744	. . . . . . . . . . 11 |- 1P e. P.
6		prop 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1P e. P. -> <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. )
7		elprnqu 6672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
8	6, 7	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1P e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
9	5, 8	mpan 414	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) -> h e. Q. )
10		prop 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
11		elprnqu 6672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
12	10, 11	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
13		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
14	13	3ad2ant3 961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
15		1pru 6746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` 1P ) = { h | 1Q <Q h }
16	15	abeq2i 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q h )
17		1nq 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
18		ltmnqg 6591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1Q e. Q. /\ h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
19	17, 18	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
20	19	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
21		mulidnq 6579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
22	21	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
23	22	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
24	20, 23	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
25	16, 24	syl5rbb 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
26	25	3adant3 958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
27	14, 26	bitrd 186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
28	12, 27	syl3an1 1202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
29	9, 28	syl3an2 1203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
30	29	3expia 1140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) ) )
31	30	pm5.32rd 438	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
32	31	rexbidva 2365	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
33	4, 32	syl5rbbr 193	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
34	3, 33	syl5bb 190	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
35	34	rexbidva 2365	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
36		df-imp 6659	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> <. { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 1st ` y ) /\ v e. ( 1st ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } , { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 2nd ` y ) /\ v e. ( 2nd ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } >. )
37		mulclnq 6566	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
38	36, 37	genpelvu 6703	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
39	5, 38	mpan2 415	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
40		prnminu 6679	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
41	10, 40	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
42		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43	42	brel 4410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f <Q x -> ( f e. Q. /\ x e. Q. ) )
44	43	ancomd 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f <Q x -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
45		ltmnqg 6591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
46	45	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
47		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> f e. Q. )
48		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x e. Q. )
49		recclnq 6582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( *Q ` f ) e. Q. )
50	49	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( *Q ` f ) e. Q. )
51		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
52	51	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
53	46, 47, 48, 50, 52	caovord2d 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
54		recidnq 6583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
55	54	breq1d 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
56	55	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
57	53, 56	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
58	57	biimpd 142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
59	44, 58	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) )
60		mulclnq 6566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ ( *Q ` f ) e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
61	49, 60	sylan2 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
62		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( 1Q <Q h <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
63	62, 15	elab2g 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
64	44, 61, 63	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
65	59, 64	mpbird 165	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) )
66		mulassnqg 6574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
67	66	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
68	47, 48, 50, 52, 67	caov12d 5702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
69	54	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
70	69	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
71		mulidnq 6579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
72	71	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q 1Q ) = x )
73	68, 70, 72	3eqtrrd 2118	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
74	44, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
75		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q h ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
76	75	eqeq2d 2092	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q h ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
77	76	rspcev 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
78	65, 74, 77	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
80	79	ancld 318	. . . . . . 7 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
81	80	reximia 2456	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
82	41, 81	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
83	82	ex 113	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
84		prcunqu 6675	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
85	10, 84	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
86	85	adantrd 273	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
87	86	rexlimdva 2477	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
88	83, 87	impbid 127	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
89	35, 39, 88	3bitr4d 218	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> x e. ( 2nd ` A ) ) )
90	89	eqrdv 2079	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   C_ wss 2973   <.cop 3401   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1stc1st 5785   2ndc2nd 5786   Q.cnq 6470   1Qc1q 6471   .Q cmq 6473   *Qcrq 6474   <Q cltq 6475   P.cnp 6481   1Pc1p 6482   .P. cmp 6484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-imp 6659

This theorem is referenced by:  1idpr  6782