Theorem resqrexlemcalc3 9902

Description: Lemma for resqrex 9912. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemcalc3	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
2	1	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
3	2	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
4		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( w = 1 -> ( w - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
5	4	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) )
6	5	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
7	3, 6	breq12d 3798	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
9		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
10	9	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
11	10	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) )
12		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - 1 ) = ( k - 1 ) )
13	12	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
14	13	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
15	11, 14	breq12d 3798	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
16	15	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
17		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
18	17	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) )
19	18	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) )
20		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
21	20	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
22	21	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
23	19, 22	breq12d 3798	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5198	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
26	25	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( F ` w ) ^ 2 ) = ( ( F ` N ) ^ 2 ) )
27	26	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) )
28		oveq1 5539	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - 1 ) = ( N - 1 ) )
29	28	oveq2d 5548	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 4 ^ ( w - 1 ) ) = ( 4 ^ ( N - 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
31	27, 30	breq12d 3798	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
32	31	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( ( ( F ` w ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( w - 1 ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
33		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
34	33	renegcld 7484	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A e. RR )
35		0red 7120	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
36		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . 10 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
37		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ A )
38	36, 33, 37	resqrexlemf 9893	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
39		1nn 8050	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
40	39	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
41	38, 40	ffvelrnd 5324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
42	41	rpred 8773	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR )
43	42	resqcld 9631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
44	33	le0neg2d 7619	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )
45	37, 44	mpbid 145	. . . . . 6 |- ( ph -> -u A <_ 0 )
46	34, 35, 43, 45	leadd2dd 7660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) )
47	43	recnd 7147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
48	33	recnd 7147	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
49	47, 48	negsubd 7425	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + -u A ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) )
50	47	addid1d 7257	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) + 0 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
51	46, 49, 50	3brtr3d 3814	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
52		1m1e0 8108	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
53	52	oveq2i 5543	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = ( 4 ^ 0 )
54		4cn 8117	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
55		exp0 9480	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. CC -> ( 4 ^ 0 ) = 1 )
56	54, 55	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 0 ) = 1
57	53, 56	eqtri 2101	. . . . . 6 |- ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) = 1
58	57	oveq2i 5543	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 )
59	47	div1d 7868	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / 1 ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
60	58, 59	syl5eq 2125	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) )
61	51, 60	breqtrrd 3811	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
62	38	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR+ )
63		peano2nn 8051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
64	63	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
65	62, 64	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 8773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
67	66	resqcld 9631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) e. RR )
68	33	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
69	67, 68	resubcld 7485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
70	69	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
71	38	ffvelrnda 5323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
72	71	rpred 8773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
73	72	resqcld 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
74	73, 68	resubcld 7485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
75		4re 8116	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. RR
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR )
77		4pos 8136	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < 4 )
79	76, 78	elrpd 8771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 4 e. RR+ )
80	74, 79	rerpdivcld 8805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
81	80	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) e. RR )
82	43	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
83		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
84		peano2zm 8389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
85	83, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. ZZ )
86	85	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
87	79, 86	rpexpcld 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
88	82, 87	rerpdivcld 8805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
89	88, 79	rerpdivcld 8805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
90	89	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) e. RR )
91	36, 33, 37	resqrexlemcalc2 9901	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
92	91	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) )
93	74, 88, 79	lediv1d 8820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) <-> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) ) )
94	93	biimpa 290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) / 4 ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
95	70, 81, 90, 92, 94	letrd 7233	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) )
96	47	ad2antrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
97	87	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
98	97	rpcnd 8775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
99	54	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. CC )
100	97	rpap0d 8779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) # 0 )
101	79	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 e. RR+ )
102	101	rpap0d 8779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> 4 # 0 )
103	96, 98, 99, 100, 102	divdivap1d 7908	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
104		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
105	104	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
106		pncan1 7481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
108	107	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
109	108	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 4 ^ k ) )
110		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> k e. NN )
111		expm1t 9504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 e. CC /\ k e. NN ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
112	54, 110, 111	sylancr 405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ k ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
113	109, 112	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) )
114	113	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( ( 4 ^ ( k - 1 ) ) x. 4 ) ) )
115	103, 114	eqtr4d 2116	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) / 4 ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
116	95, 115	breqtrd 3809	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
117	116	ex 113	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
118	117	expcom 114	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
119	118	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
120	8, 16, 24, 32, 61, 119	nnind 8055	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
121	120	impcom 123	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {csn 3398   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   -->wf 4918   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   -ucneg 7280   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   4c4 8091   ZZcz 8351   RR+crp 8734   seqcseq 9431   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  9903  resqrexlemga  9909