Theorem resqrexlemsqa 9910

Description: Lemma for resqrex 9912. The square of a limit is A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	|- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   A, e, j   y, A, z   e, F, j   y, F, z   i, F   e, L, j, i   y, L, z   e, i, j   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables a b c d x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 9893	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	ffvelrnda 5323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
6		2z 8379	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 2 e. ZZ )
8	5, 7	rpexpcld 9629	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) e. RR+ )
9		eqid 2081	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
10	8, 9	fmptd 5343	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11		rpssre 8744	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
13	10, 12	fssd 5075	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 |- ( ph -> L e. RR )
15	14	resqcld 9631	. 2 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
17		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( L + e ) = ( L + a ) )
18	17	breq2d 3797	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + a ) ) )
19		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + a ) )
20	19	breq2d 3797	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
21	18, 20	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2392	. . . . . 6 |- ( e = a -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
23	22	cbvralv 2577	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
24		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
25	24	raleqdv 2555	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
26	25	cbvrexv 2578	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
27	26	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
28		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( F ` i ) = ( F ` c ) )
29	28	breq1d 3795	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) < ( L + a ) <-> ( F ` c ) < ( L + a ) ) )
30	28	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) + a ) = ( ( F ` c ) + a ) )
31	30	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( L < ( ( F ` i ) + a ) <-> L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
32	29, 31	anbi12d 456	. . . . . . . 8 |- ( i = c -> ( ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
33	32	cbvralv 2577	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
34	33	rexbii 2373	. . . . . 6 |- ( E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
35	34	ralbii 2372	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
36	23, 27, 35	3bitri 204	. . . 4 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
37	16, 36	sylib 120	. . 3 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 9908	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( ( L ^ 2 ) + a ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 9909	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( A + a ) /\ A < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 9881	1 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   {csn 3398   class class class wbr 3785   |-> cmpt 3839   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   RR+crp 8734   seqcseq 9431   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  9911