Theorem resqrexlemsqa 9910

Description: Lemma for resqrex 9912. The square of a limit is 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑗   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹,𝑗   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐹   𝑒,𝐿,𝑗,𝑖   𝑦,𝐿,𝑧   𝑒,𝑖,𝑗   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 9893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5	4	ffvelrnda 5323	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ+)
6		2z 8379	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
8	5, 7	rpexpcld 9629	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) ∈ ℝ+)
9		eqid 2081	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
10	8, 9	fmptd 5343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ+)
11		rpssre 8744	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
13	10, 12	fssd 5075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2)):ℕ⟶ℝ)
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 9631	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) ∈ ℝ)
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
17		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + 𝑎))
18	17	breq2d 3797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎)))
19		oveq2 5540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))
20	19	breq2d 3797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
21	18, 20	anbi12d 456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
22	21	rexralbidv 2392	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
23	22	cbvralv 2577	. . . . 5 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
24		fveq2 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑏))
25	24	raleqdv 2555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑏 → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎))))
26	25	cbvrexv 2578	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
27	26	ralbii 2372	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)))
28		fveq2 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑐))
29	28	breq1d 3795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ↔ (𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎)))
30	28	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) = ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))
31	30	breq2d 3797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎) ↔ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
32	29, 31	anbi12d 456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎))))
33	32	cbvralv 2577	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
34	33	rexbii 2373	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
35	34	ralbii 2372	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑎)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
36	23, 27, 35	3bitri 204	. . . 4 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
37	16, 36	sylib 120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑏)((𝐹‘𝑐) < (𝐿 + 𝑎) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑐) + 𝑎)))
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 9908	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < ((𝐿↑2) + 𝑎) ∧ (𝐿↑2) < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 9909	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑑 ∈ (ℤ≥‘𝑏)(((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) < (𝐴 + 𝑎) ∧ 𝐴 < (((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))‘𝑑) + 𝑎)))
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 9881	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973  {csn 3398   class class class wbr 3785   ↦ cmpt 3839   × cxp 4361  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532   ↦ cmpt2 5534  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154   / cdiv 7760  ℕcn 8039  2c2 8089  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ℝ⁺crp 8734  seqcseq 9431  ↑cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  9911