Theorem addcmpblnq 6557

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpig 6523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
2	1	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → (𝑥 ·N (𝑦 +N 𝑧)) = ((𝑥 ·N 𝑦) +N (𝑥 ·N 𝑧)))
3		simplll 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
4		simprlr 504	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
5		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
6	3, 4, 5	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐺) ∈ N)
7		simpllr 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
8		simprll 503	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
9		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N)
11		mulclpi 6518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
12	11	ad2ant2l 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 491	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
14		addclpi 6517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
15	14	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 +N 𝑦) ∈ N)
16		mulcompig 6521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
17	16	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	2, 6, 10, 13, 15, 17	caovdir2d 5697	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))))
19		simplrr 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
20		mulasspig 6522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21	20	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
22		simprrr 506	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
23		mulclpi 6518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	23	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
25	3, 4, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5705	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
26	7, 8, 19, 17, 21, 22, 24	caov4d 5705	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
27	25, 26	oveq12d 5550	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆))) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
28	18, 27	eqtrd 2113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))))
29		oveq1 5539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
30		oveq2 5540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅) → ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
31	29, 30	oveqan12d 5551	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → (((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	28, 31	sylan9eq 2133	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
33		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
34	7, 4, 33	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
35		simplrl 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
36		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
37	35, 22, 36	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N)
38		simprrl 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
39		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
40	19, 38, 39	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N)
41		distrpig 6523	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
42	34, 37, 40, 41	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))))
43	7, 4, 35, 17, 21, 22, 24	caov4d 5705	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)))
44	7, 4, 19, 17, 21, 38, 24	caov4d 5705	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
45	43, 44	oveq12d 5550	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
46	42, 45	eqtrd 2113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
47	46	adantr 270	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))) = (((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑆)) +N ((𝐵 ·N 𝐷) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
48	32, 47	eqtr4d 2116	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅))))
49		addclpi 6517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐺) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐹) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
50	5, 9, 49	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
51	50	an42s 553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N)
52	33	ad2ant2l 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
53	51, 52	jca 300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
54		addclpi 6517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ·N 𝑆) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑅) ∈ N) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
55	36, 39, 54	syl2an 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
56	55	an42s 553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N)
57	56, 12	jca 300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
58	53, 57	anim12i 331	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
59	58	an4s 552	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
60		enqbreq 6546	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
61	59, 60	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
62	61	adantr 270	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N ((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)))))
63	48, 62	mpbird 165	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ ((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩)
64	63	ex 113	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐺) +N (𝐵 ·N 𝐹)), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨((𝐶 ·N 𝑆) +N (𝐷 ·N 𝑅)), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  Ncnpi 6462   +_N cpli 6463   ·_N cmi 6464   ~_Q ceq 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-enq 6537

This theorem is referenced by:  addpipqqs  6560