Theorem mulasspig 6522

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem mulasspig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 6499	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 6499	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnmass 6089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
6		mulclpi 6518	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
7		mulpiord 6507	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
8	6, 7	sylan 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
9		mulpiord 6507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
10	9	oveq1d 5547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
11	10	adantr 270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
13	12	3impa 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
14		mulclpi 6518	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
15		mulpiord 6507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
17		mulpiord 6507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) = (𝐵 ·𝑜 𝐶))
18	17	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
19	18	adantl 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
21	20	3impb 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ωcom 4331  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496

This theorem is referenced by:  enqer  6548  addcmpblnq  6557  mulcmpblnq  6558  ordpipqqs  6564  addassnqg  6572  mulassnqg  6574  mulcanenq  6575  distrnqg  6577  ltsonq  6588  ltanqg  6590  ltmnqg  6591  ltexnqq  6598