Theorem mulcmpblnq 6558

Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5541	. 2 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐹) ∈ N)
3		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
4	2, 3	anim12i 331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
5	4	an4s 552	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
6		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑅) ∈ N)
7		mulclpi 6518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
8	6, 7	anim12i 331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
9	8	an4s 552	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
10	5, 9	anim12i 331	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
11	10	an4s 552	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
12		enqbreq 6546	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14		simplll 499	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
15		simprll 503	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
16		simplrr 502	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
17		mulcompig 6521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	17	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
19		mulasspig 6522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
20	19	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21		simprrr 506	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
22		mulclpi 6518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
23	22	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	14, 15, 16, 18, 20, 21, 23	caov4d 5705	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25		simpllr 500	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
26		simprlr 504	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
27		simplrl 501	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
28		simprrl 505	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
29	25, 26, 27, 18, 20, 28, 23	caov4d 5705	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
30	24, 29	eqeq12d 2095	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
31	13, 30	bitrd 186	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	1, 31	syl5ibr 154	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464   ~_Q ceq 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq 6537

This theorem is referenced by:  mulpipqqs  6563