Theorem dvdslelemd 10243

Description: Lemma for dvdsle 10244. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		0z 8362	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		zlelttric 8396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
4	1, 2, 3	sylancl 404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		zgt0ge1 8409	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	6	orbi2d 736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
8	4, 7	mpbid 145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	1	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10	9	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 7149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15		0red 7120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nnred 8052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	10	renegcld 7484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
20	9	le0neg1d 7618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
21	20	biimpa 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22		0red 7120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23	16	nngt0d 8082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 7235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
26	22, 12, 25	ltled 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 7721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
29	14	le0neg1d 7618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
30	10	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	13	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulneg1d 7515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
33	32	breq2d 3797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
34	29, 33	bitr4d 189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
35	28, 34	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
36	23	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 7234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
38	37	ex 113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
39	17	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	12	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
41	9	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 40	remulcld 7149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
43	24	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
44	26	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 8016	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 7527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
48	47	ex 113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
49	38, 48	orim12d 732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
50	8, 49	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51		zq 8711	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
52	1, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℚ)
53		zq 8711	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
54	11, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
55		qmulcl 8722	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
56	52, 54, 55	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57		nnq 8718	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
58	16, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
59		qlttri2 8726	. . 3 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
60	56, 58, 59	syl2anc 403	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
61	50, 60	mpbird 165	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154  -cneg 7280  ℕcn 8039  ℤcz 8351  ℚcq 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705

This theorem is referenced by:  dvdsle  10244