Theorem 0z 8362

Description: Zero is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0z	⊢ 0 ∈ ℤ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7119	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		eqid 2081	. . 3 ⊢ 0 = 0
3	2	3mix1i 1110	. 2 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)
4		elz 8353	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 = 0 ∨ 0 ∈ ℕ ∨ -0 ∈ ℕ)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 883	1 ⊢ 0 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 918   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ℝcr 6980  0cc0 6981  -cneg 7280  ℕcn 8039  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-1re 7070  ax-addrcl 7073  ax-rnegex 7085

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352

This theorem is referenced by:  0zd  8363  nn0ssz  8369  znegcl  8382  zgt0ge1  8409  nn0n0n1ge2b  8427  nn0lt10b  8428  nnm1ge0  8433  gtndiv  8442  msqznn  8447  zeo  8452  nn0ind  8461  fnn0ind  8463  nn0uz  8653  1eluzge0  8662  eqreznegel  8699  qreccl  8727  qdivcl  8728  irrmul  8732  fz10  9065  fz01en  9072  fzpreddisj  9088  fzshftral  9125  fznn0  9129  fz0tp  9135  elfz0ubfz0  9136  1fv  9149  lbfzo0  9190  elfzonlteqm1  9219  fzo01  9225  fzo0to2pr  9227  fzo0to3tp  9228  flqge0nn0  9295  divfl0  9298  btwnzge0  9302  modqmulnn  9344  zmodfz  9348  modqid  9351  zmodid2  9354  q0mod  9357  modqmuladdnn0  9370  frecfzennn  9419  expival  9478  qexpclz  9497  facdiv  9665  bcval  9676  bcnn  9684  bcm1k  9687  ibcval5  9690  bcpasc  9693  4bc2eq6  9701  rexfiuz  9875  qabsor  9961  nn0abscl  9971  nnabscl  9986  climz  10131  climaddc1  10167  climmulc2  10169  climsubc1  10170  climsubc2  10171  climlec2  10179  dvdsval2  10198  dvdsdc  10203  moddvds  10204  dvds0  10210  0dvds  10215  zdvdsdc  10216  dvdscmulr  10224  dvdsmulcr  10225  dvdslelemd  10243  dvdsabseq  10247  divconjdvds  10249  alzdvds  10254  fzo0dvdseq  10257  odd2np1lem  10271  gcdmndc  10340  gcdsupex  10349  gcdsupcl  10350  gcd0val  10352  gcddvds  10355  gcd0id  10370  gcdid0  10371  gcdid  10377  bezoutlema  10388  bezoutlemb  10389  bezoutlembi  10394  dfgcd3  10399  dfgcd2  10403  gcdmultiplez  10410  dvdssq  10420  algcvgblem  10431  lcmmndc  10444  lcm0val  10447  dvdslcm  10451  lcmeq0  10453  lcmgcd  10460  lcmdvds  10461  lcmid  10462  3lcm2e6woprm  10468  6lcm4e12  10469  cncongr2  10486  sqrt2irrap  10558