Theorem archnqq 6607

Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
archnqq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem archnqq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 6568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2		1pi 6505	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3		addclpi 6517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
4	2, 3	mpan2 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
5	4	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
6	5	adantr 270	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
7		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
8		1onn 6116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
9		nnacl 6082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
10	7, 8, 9	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
11	10	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
12		nnm1 6120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
14		elni2 6504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N ↔ (𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤))
15		nnord 4352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
16		ordgt0ge1 6041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝑤))
17	16	biimpa 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Ord 𝑤 ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜 ⊆ 𝑤)
18	15, 17	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑤) → 1𝑜 ⊆ 𝑤)
19	14, 18	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ N → 1𝑜 ⊆ 𝑤)
20	19	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 1𝑜 ⊆ 𝑤)
21		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
22	21	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑤 ∈ ω)
23		nnaword1 6109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
24	7, 8, 23	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ⊆ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
25		elni2 6504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑧))
26	25	simprbi 269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ 𝑧)
27	24, 26	sseldd 3000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
28	27	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
29		nnmword 6114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜 ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
30	8, 29	mp3anl1 1262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ (𝑧 +𝑜 1𝑜) ∈ ω) ∧ ∅ ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)) → (1𝑜 ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
31	22, 11, 28, 30	syl21anc 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (1𝑜 ⊆ 𝑤 ↔ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
32	20, 31	mpbid 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
33	13, 32	eqsstr3d 3034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +𝑜 1𝑜) ⊆ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
34		nna0 6076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) = 𝑧)
35		0lt1o 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
36		nnaordi 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
37	8, 36	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 1𝑜 → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜)))
38	35, 37	mpi 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +𝑜 ∅) ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
39	34, 38	eqeltrrd 2156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
40	7, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
41	40	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ (𝑧 +𝑜 1𝑜))
42	33, 41	sseldd 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
43		mulclpi 6518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
44	4, 43	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N)
45		ltpiord 6509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
46	44, 45	syldan 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤)))
47		mulpiord 6507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
48	4, 47	sylan 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
49		addpiord 6506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
50	2, 49	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
51	50	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 +N 1𝑜) = (𝑧 +𝑜 1𝑜))
52	51	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·𝑜 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
53	48, 52	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤))
54	53	eleq2d 2148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ∈ ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
55	46, 54	bitrd 186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑧 +𝑜 1𝑜) ·𝑜 𝑤)))
56	42, 55	mpbird 165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤))
57		mulcompig 6521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
58	4, 57	sylan 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) = (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
59	58	breq2d 3797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 <N ((𝑧 +N 1𝑜) ·N 𝑤) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
60	56, 59	mpbid 145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)))
61	5, 2	jctir 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N))
62		ordpipqqs 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
63	61, 62	mpdan 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
64		mulidpi 6508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
65	64	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
66	65	breq1d 3795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 1𝑜) <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜)) ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
67	63, 66	bitrd 186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ 𝑧 <N (𝑤 ·N (𝑧 +N 1𝑜))))
68	60, 67	mpbird 165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
69	68	adantr 270	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
70		breq1 3788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
71	70	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ↔ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
72	69, 71	mpbird 165	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
73		opeq1 3570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
74	73	eceq1d 6165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
75	74	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ))
76	75	rspcev 2701	. . . 4 ⊢ (((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
77	6, 72, 76	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
78	77	exlimivv 1817	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
79	1, 78	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  Ord word 4117  ωcom 4331  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017   +_𝑜 coa 6021   ·_𝑜 comu 6022  [cec 6127  Ncnpi 6462   +_N cpli 6463   ·_N cmi 6464   <_N clti 6465   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  prarloclemarch  6608  nqprm  6732  archpr  6833  archrecnq  6853