Theorem eqbrtrrd 3807

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eqcomd 2086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
3		eqbrtrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)
4	2, 3	eqbrtrd 3805	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1284   class class class wbr 3785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786

This theorem is referenced by:  dftpos4  5901  phpm  6351  unsnfidcex  6385  prmuloclemcalc  6755  mullocprlem  6760  cauappcvgprlemladdfl  6845  caucvgprlemopl  6859  caucvgprprlemloccalc  6874  caucvgprprlemopl  6887  ltadd1sr  6953  axarch  7057  lemulge11  7944  modqmuladdim  9369  ltexp2a  9528  leexp2a  9529  nnlesq  9578  faclbnd6  9671  facavg  9673  cvg1nlemcxze  9868  resqrexlemover  9896  resqrexlemlo  9899  resqrexlemnmsq  9903  resqrexlemnm  9904  leabs  9960  abs3dif  9991  abs2dif  9992  maxabslemlub  10093  maxltsup  10104  recn2  10155  imcn2  10156  iiserex  10177  divalglemnqt  10320  mulgcd  10405  dvdssqlem  10419  nn0seqcvgd  10423  mulgcddvds  10476  rpdvds  10481  pw2dvdseulemle  10545  sqrt2irraplemnn  10557