Theorem resqrexlemnmsq 9903

Description: Lemma for resqrex 9912. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnmsq	⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 9893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelrnd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 8773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 9631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 7147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10		resqrexlemnmsq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	4, 10	ffvelrnd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 8773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 9631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 7147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℂ)
15	2	recnd 7147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	nnncan2d 7454	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
17	8, 2	resubcld 7485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
18	13, 2	resubcld 7485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 7485	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1nn 8050	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
22	4, 21	ffvelrnd 5324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23		2z 8379	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	rpexpcld 9629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26		4nn 8195	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 8772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
29	5	nnzd 8468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		1zzd 8378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 8474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	rpexpcld 9629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
33	25, 32	rpdivcld 8791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 8773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
35	1, 2, 3	resqrexlemover 9896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
36	10, 35	mpdan 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
37		difrp 8770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	2, 13, 37	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
39	36, 38	mpbid 145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
40	17, 39	ltsubrpd 8806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
41	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 9902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
42	5, 41	mpdan 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
43	19, 17, 34, 40, 42	ltletrd 7527	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
44	16, 43	eqbrtrrd 3807	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {csn 3398   class class class wbr 3785   × cxp 4361  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532   ↦ cmpt2 5534  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279   / cdiv 7760  ℕcn 8039  2c2 8089  4c4 8091  ℤcz 8351  ℝ⁺crp 8734  seqcseq 9431  ↑cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9904