Theorem prmuloclemcalc 6755

Description: Calculations for prmuloc 6756. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp	⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb	⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
prmuloclemcalc.pbrx	⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
prmuloclemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
prmuloclemcalc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
prmuloclemcalc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
prmuloclemcalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
2	1	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q 𝐵))
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
4		ltrelnq 6555	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
7	6	simprd 112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Q)
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)
10		distrnqg 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
12	2, 11	eqtr3d 2115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
14		mulcomnqg 6573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
15	13, 7, 14	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17		ltmnqi 6593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
18	16, 13, 17	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
21		distrnqg 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
23	18, 22	breqtrd 3809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
24		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
25	20, 13, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
27	25, 26	eqbrtrrd 3807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28		mulclnq 6566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
29	13, 19, 28	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
30		ltanqi 6592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
31	27, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32		ltsonq 6588	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q Or Q
33	32, 4	sotri 4740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
34	23, 31, 33	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35		ltmnqi 6593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 <Q 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
36	3, 9, 35	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
37	6	simpld 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Q)
38		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑅 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
39	9, 37, 38	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40		mulcomnqg 6573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
41	9, 7, 40	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
42	36, 39, 41	3brtr3d 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43		ltanqi 6592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
44	42, 29, 43	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
45	32, 4	sotri 4740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
46	34, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
47	15, 46	eqbrtrrd 3807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
48	12, 47	eqbrtrrd 3807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49		mulclnq 6566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
50	7, 8, 49	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
51		mulclnq 6566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
52	7, 9, 51	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
53		addcomnqg 6571	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
55		addcomnqg 6571	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
56	29, 52, 55	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
57	48, 54, 56	3brtr3d 3814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
58		ltanqg 6590	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
60	57, 59	mpbird 165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
61		mulcomnqg 6573	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
62	13, 19, 61	syl2anc 403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
63	60, 62	breqtrd 3809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  Qcnq 6470   +_Q cplq 6472   ·_Q cmq 6473   <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  prmuloc  6756