Theorem iiserex 10177

Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserex.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
iserex.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iiserex	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iiserex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqeq1 9434	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
2	1	eleq1d 2147	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
3	2	bicomd 139	. . 3 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
5		simpll 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6		iserex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7		clim2ser.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	syl6eleq 2171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluzelz 8628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 8470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
12		ax-1cn 7069	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		npcan 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
14	11, 12, 13	sylancl 404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15		iseqeq1 9434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
17	5, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
18		simplr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19	18, 7	syl6eleqr 2172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
20		iserex.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21	5, 20	sylan 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
23		climdm 10134	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
24	22, 23	sylib 120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
25	7, 19, 21, 24	clim2iser 10175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
26	17, 25	eqbrtrrd 3807	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
27		climrel 10119	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
28	27	releldmi 4591	. . . . 5 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
29	26, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
30		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30, 7	syl6eleqr 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
32	31	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
33		simpll 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
34	33, 20	sylan 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
36		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
37		climdm 10134	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
38	36, 37	sylib 120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
39	35, 38	eqbrtrd 3805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
40	7, 32, 34, 39	clim2iser2 10176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
41	27	releldmi 4591	. . . . 5 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
42	40, 41	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
43	29, 42	impbida 560	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
44	43	ex 113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
45		uzm1 8649	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
46	8, 45	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
47	4, 44, 46	mpjaod 670	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  dom cdm 4363  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431   ⇝ cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

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