Theorem lbzbi 8701

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1461	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2		nfre1 2407	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
3		btwnz 8466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
4	3	simpld 110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5		ssel2 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		zre 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		ltleletr 7193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
8	6, 7	syl3an1 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	expd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
10	9	3expia 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
12	11	expdimp 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
13	12	com23 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
14	13	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
15	14	ralrimiv 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
16		ralim 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
18	17	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	anasss 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
20	19	expcom 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
21	20	com23 77	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
22	21	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
23	22	imdistand 435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
24		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	ralbidv 2368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rspcev 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
28	27	ex 113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	com23 77	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	29	ancomsd 265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
31	30	expdimp 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
32	31	rexlimdv 2476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
33	32	anasss 391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	expcom 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	4, 34	mpdi 42	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
36	35	ex 113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	com23 77	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
38	1, 2, 37	rexlimd 2474	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
39		zssre 8358	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
40		ssrexv 3059	. . 3 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
41	39, 40	ax-mp 7	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
42	38, 41	impbid1 140	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785  ℝcr 6980   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-z 8352

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