Theorem nn0lt2 8429

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 664	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3		nn0z 8371	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		2z 8379	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		zltlem1 8408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 404	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 8156	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	breq2i 3793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
9	6, 8	syl6bb 194	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10		necom 2329	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11		1z 8377	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zltlen 8426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
13	3, 11, 12	sylancl 404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14		nn0lt10b 8428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
15	14	biimpa 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
16	15	orcd 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
17	16	ex 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
18	13, 17	sylbird 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19	18	expd 254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
20	10, 19	syl7bi 163	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
21	9, 20	sylbid 148	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
22	21	imp 122	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23		zdceq 8423	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
24	3, 11, 23	sylancl 404	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 1)
25	24	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → DECID 𝑁 = 1)
26		dcne 2256	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
27	25, 26	sylib 120	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
28	2, 22, 27	mpjaod 670	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279  2c2 8089  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by: (None)